狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數

L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.

在此 $\chi$ 是一個狄利克雷特徵， $s\in \mathbb {C}$ 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 $\chi$ 具有 $L(1,\chi )\neq 0$ ，並藉此證明狄利克雷定理。若 $\chi$ 是主特徵，則 $L(s,\chi )$ 在 $s=1$ 有單極點。

零點

不論可能的西格爾零點，狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域，包括 $\{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}$ 。一如黎曼ζ函數，狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。

假設 $\chi$ 是模 $k$ 的原特徵。定義

\Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),

此處 $\Gamma$ 表Γ函數，而符號 $a$ 由下式給出

a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}

\Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).

此處的 $\tau (\chi )$ 表高斯和

\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).

我們亦有 $|\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}$ 。