瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線,也是圓代數曲線。是由二個半徑為b ,圓心之間距離為2a(分別在(±a, 0))的圓所產生,一個長為2c的線段,兩端點分別在二圓上,其線段中間的軌跡即為瓦特曲線,此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。
繪製瓦特曲線(圖中的黑線)
瓦特曲線的方程式可以寫為以下的极坐标系方程
![{\displaystyle r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6e3921b0bd544992632a8d945be2a2e9dea8d2)
极坐标系方程可以用下式推導[1]:
在複數平面上,令二圓的圓心為a和−a,二圓連線的端點為−a+bei λ和a+bei ρ。令線段相對水平線的斜角ψ,其中點為rei θ,則二端點也可表示為rei θ ± cei ψ。二端點的二種表示式可得:
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二式相加再除二可得
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比較半徑及幅角可得
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一開始的二式相減再除二可得
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將a以下式表示
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因此
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將極座標方式展開可得
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令d 2=a2+b2–c2 因此可簡化上式為:
當曲線通過原點時,原點為拐點,因此有3階接觸切線。不過若a2=b2+<c2,則有5階接觸切線,換句話說此曲線相當接近直線,這就是瓦特連桿可以作為直線運動機構的原理。