等角螺线

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系 $(r,\theta )$ 中，这个曲线可以写为

r=ae^{b\theta }\,

或

\theta ={\frac {1}{b}}\ \ln \left({\frac {r}{a}}\right)\ ,

因此叫做“对数”螺线。

定理

等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
设 $L$ 为穿过原点的任意直线，则 $L$ 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 $\cot ^{-1}b$ 。
设 $C$ 为以原点为圆心的任意圆，则 $C$ 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 $\tan ^{-1}b$ ，名为「倾斜度」
等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
等角螺线的渐屈线和垂足曲线都是等角螺线。
从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。

历史

雅各布·伯努利的墓碑，下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。

等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。