陳-高斯-博內定理

在數學中，陳定理（或陳–高斯–博內定理，英語：Chern–Gauss–Bonnet theorem）以数学家陈省身、卡尔·弗里德里克·高斯、皮埃尔·奥西恩·博内（英语：Pierre Ossian Bonnet）的名字命名。此定理断言：2n維黎曼流形的歐拉示性數可以從曲率計算出來。陳定理也是高斯–博內定理（n=1）在高维的推廣，其在數學和理論物理學中亦有许多應用。此定理由陈省身於1945年證出。陳定理將全局拓扑學與局部微分几何联系起來。^[1]

定理

若M是2n维的黎曼流形，陈定理为：^[2]^[3]

\chi (M)=\int _{M}e(\Omega )

$\chi (M)$ 是M的欧拉示性数, $\Omega$ 是M的曲率形式, 欧拉类 $e(\Omega )$ 则定义为

e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).

$\operatorname {Pf} (\Omega )$ 是普法夫值。^[4]

^ Chern, Shiing-shen. On the Curvatura Integra in a Riemannian Manifold. The Annals of Mathematics. October 1945, 46 (4): 674–684. JSTOR 1969203. doi:10.2307/1969203.
^ Morita, Shigeyuki. Geometry of Differential Forms. Translations of Mathematical Monographs 201. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2001-08-28. ISBN 9780821810453. doi:10.1090/mmono/201.
^ Schrödinger operators, with applications to quantum mechanics and global geometry. Cycon, H. L. (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Berlin: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0387167589. OCLC 13793017.
^ Bell, Denis. The Gauss–Bonnet theorem for vector bundles. Journal of Geometry. September 2006, 85 (1-2): 15–21. arXiv:math/0702162  . doi:10.1007/s00022-006-0037-1.