User:Råy kuø/沙盒

此页面介紹的是集合的0-1指示函数。关于其他指示特征的函数，请见「示性函数」。

在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。指示函数有时候也称为示性函数或特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数$1_{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace$，定义为

$1_{A}(x)={\begin{cases}1\\0\end{cases}}\quad$	若 $x\in A$
	若 $x\notin A$

A的指示函数也记作$\chi _{A}(x)\,$或$I_{A}(x)\,$。

简单性质

把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数$f:X\to \{0,1\}$的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么

$1_{A\cap B}=\min\{1_{A},1_{B}\}=1_{A}1_{B}\,$，

以及

$1_{A\cup B}=\max\{{1_{A},1_{B}}\}=1_{A}+1_{B}-1_{A}1_{B}\,$。

更一般地，设A₁, ..., A_n是X的子集。对任意$x\in X$，可知

$\prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}}(x))=1$当且仅当x不属于任何A_k。

故有

$\prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}})=1_{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-1_{\bigcup _{k}A_{k}}$。

展开左式

$1_{\bigcup _{k}A_{k}}$	$=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}$
	$=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}$，

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1_A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

$E(1_{A})=\int _{X}1_{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A)$。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。

平均、變異數以及共變異數

給定一個機率空間 $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ ，其中$A\in {\mathcal {F}},$指示函數可以被定義成以下形式：

$\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} :=$ ${\begin{aligned}\mathbf {1} _{A}=1\ {\text{if}}\ \omega \in A,\\{\text{otherwise}}\ \mathbf {1} _{A}=0\end{aligned}}$

平均

$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$

變異數

$\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

共變異數

$\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

指示函數的微分

以下我們討論一個特別的指示函數，黑維塞函數： $$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}$$

The distributional derivative of the Heaviside step function is equal to the Dirac delta function, i.e. $${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)$$ and similarly the distributional derivative of $$G(x):=\mathbf {1} _{x<0}$$ is $${\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)$$

Thus the derivative of the Heaviside step function can be seen as the inward normal derivative at the boundary of the domain given by the positive half-line. In higher dimensions, the derivative naturally generalises to the inward normal derivative, while the Heaviside step function naturally generalises to the indicator function of some domain D. The surface of D will be denoted by S. Proceeding, it can be derived that the inward normal derivative of the indicator gives rise to a 'surface delta function', which can be indicated by $\delta _{S}(\mathbf {x} )$: $$\delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}$$ where n is the outward normal of the surface S. This 'surface delta function' has the following property: $$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .$$

By setting the function f equal to one, it follows that the inward normal derivative of the indicator integrates to the numerical value of the surface area S.