多面形

球面正二角形组成的球面镶嵌图
(重定向自一面形

几何学中,多面形(英语:Hosohedron)是一种由月牙形或球弓形组成的球面镶嵌,并且使得每一个月牙形或球弓形共用相同的两个顶点。其在施莱夫利符号中用 {2, n} 表示n面形。

多面形
多面形
以六面形为例
类别正多面体
球面镶嵌
对偶多面体多边形二面体在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node n node 2 node_1 
施莱夫利符号{2,n}
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
n | 2 2
性质
顶点
欧拉特征数F=, E=, V= (χ=2)
组成与布局
面的种类n个二角形
顶点图2n
顶点布局
英语Vertex_configuration
2n
对称性
对称群Dnh, [2,n], (*22n), order 4n
旋转对称群
英语Rotation_groups
Dn, [2,n]+, (22n), order 2n
图像

多边形二面体
对偶多面体
注:为底面边数 。

其亦可以视为由球面正二角形组成的球面镶嵌图,又称为二角形镶嵌二边形镶嵌

正多面形

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施莱夫利符号中以{m, n}表示的正多面体,其面的个数存在下列等式:

 

自古以来大家所熟知的正多面体——帕雷托立体是当m≥3且n≥3的整数解,限制在m≥3的状态下,多边形面必须至少有三条边。

当考虑多面体为球面镶嵌时,该限制可以放宽,因为二角形(二边形)可以以球弓形或月牙形存在,即球面二角形具有非零面积。当m=2时则会产生一个新的无穷集合,即多面形。在球面上,所述多面体{2, n}表示当n个球弓形组合,并且具有2π/n内角。所有二角形阶共用相同的两个顶点,即每个顶点皆为所有二角形的公共顶点。

每个正多面形都是n阶二边形镶嵌。

 
一个正三面形,{2,3},以三个月牙形镶嵌于求面表示。又称三阶二边形镶嵌。
 
一个正四面形,以四个月牙形镶嵌于求面表示。又称四阶二边形镶嵌。
正多面形系列
球面镶嵌 欧式镶嵌
仿紧空间
双曲镶嵌
非紧空间
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... iπ
一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 无限面形 超无限面形
   
{2,1}
     
{2,2}
     
{2,3}
     
{2,4}
     
{2,5}
     
{2,6}
     
{2,7}
     
{2,8}
     
{2,9}
      
{2,10}
      
{2,11}
      
{2,12}
     
{2,∞}
     
{2,iπ/λ}
                           

命名

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英文Hosohedron一词由考克斯特命名,其来自希腊语ὅσος (osos/hosos),是‘尽可能多’的意思,其意思为‘尽可能达到很多的面的形状[1]’因此称为多面形。

多维面形

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多维面形是多面形在高维度的类比,表示有多个维面的几何图形。任何正的维面形都可以以施莱夫利符号{2,p,...,q}表示

多维面形
施莱夫利
{2,p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
       

{2,p}π/q

{2}π/p,π/q
顶点 顶点图
{p,q}
对称性 对偶多胞形
{2,3,3}         4
{2,3}π/3
 
6
{2}π/3,π/3
4 2 {3,3}
 
[2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3}         6
{2,4}π/3
 
12
{2}π/4,π/3
8 2 {4,3}
 
[2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4}         8
{2,3}π/4
 
12
{2}π/3,π/4
6 2 {3,4}
 
[2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3}         12
{2,5}π/3
 
30
{2}π/5,π/3
20 2 {5,3}
 
[2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5}         20
{2,3}π/5
 
30
{2}π/3,π/5
12 2 {3,5}
 
[2,5,3] {5,3,2}

相关几何体

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多香肠面形

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球面上的三角香肠面形

多香肠面形(lucanicohedron)又称为截半多面形(rectified hosohedron)是一种半正则地区图,源自于多面形,其结构为两个多边形底面以类似多边形二面体的方式贴合,但贴合的棱处加上二角形的侧面所构成的正则地区图[2],名称lucanicohedron源自于这种立体以二角形在侧面循环有如香肠串一般,因此取香肠的希腊语λουκάνικο作为字首lucanico-结合多面体字尾-hedron构成的复合词。[3]

多香肠面形是多面形或多边形二面体截半变换的结果。[4]

参见

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参考文献

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  1. ^ Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. 1 January 1994: 108–109 [2014-06-19]. ISBN 978-0-88385-511-9. (原始内容存档于2014-06-26). 
  2. ^ Draghicescu, Mircea; et al. Single-threaded Polyhedra Models. Bridges 2020 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2020: 281–288 [2022-12-22]. (原始内容存档于2022-12-22). 
  3. ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-22]. (原始内容存档于2021-05-07). 
  4. ^ Draghicescu, Mircea. Building Polyhedra Models for Mathematical Art Projects and Teaching Geometry (PDF). Proceedings of Bridges 2019: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture. 2019: 629–634 [2022-12-23]. (原始内容存档 (PDF)于2022-12-23).