二十面截角十二面十二面体

几何学中,二十面截角十二面十二面体是一种星形均匀多面体,由20个正六边形、12个正十边形和12个十角星组成[5][6],其索引为U45对偶多面体三重二方二十面体英语Tridyakis icosahedron[1],具有二十面体群对称性英语Icosahedral symmetry[7][5][8]

二十面截角十二面十二面体
二十面截角十二面十二面体
类别均匀星形多面体
对偶多面体三重二方二十面体英语Tridyakis icosahedron
识别
名称二十面截角十二面十二面体
Icositruncated dodecadodecahedron
icosidodecatruncated icosidodecahedron
参考索引U45, C57, W84
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
idtid
数学表示法
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
3 5 5/3 |
3 5/3 5 |[1][2]:130
5/3 3 5 |[3][4]
性质
44
180
顶点120
欧拉特征数F=44, E=180, V=120 (χ=-16)
组成与布局
面的种类20个正六边形
12个正十边形
12个十角星
顶点图6.10.10/3
对称性
对称群Ih, [5,3], *532
图像
立体图
6.10.10/3
顶点图

三重二方二十面体英语Tridyakis icosahedron
对偶多面体

性质

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二十面截角十二面十二面体共由44个、180条和120个顶点组成[7][9]。在其44个面中,有20个正六边形、12个十边形和12个十角星[5][6]。在其120个顶点中,每个顶点都是六边形、十边形和十角星的公共顶点,并且这些面在顶点周围依照六边形、十边形和十角星的顺序排列,在顶点图中可以用[6,10,10/3][10](10/3.6.10)[11][8][7][4]来表示。

表示法

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二十面截角十二面十二面体在考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以表示为    [4](x5/3x3x5*a)[12],在威佐夫记号中可以表示为3 5/3 5 |[1][2]:1305/3 3 5 |[3][4]

分类

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由于二十面截角十二面十二面体的顶点图不等边三角形且具备点可递的特性,同时,其存在自相交的面,并可以透过星形正多面体进行广义截角来构造,因此二十面截角十二面十二面体是一种自相交截角拟正多面体(Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra)。自相交截角拟正多面体一共有五种,分别为立方截角立方八面体星形截角截半立方体、二十面截角十二面十二面体、截角截半大十二面体大截角截半二十面体[13]这些立体由阿尔伯特·巴杜罗(Albert Badoureau)和约翰·皮奇(Johann Pitsch)于1881年发现并描述。[14][15]

尺寸

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若二十面截角十二面十二面体的边长为单位长,则其外接球半径为2单位。[16]

边长为单位长的二十面截角十二面十二面体,中分球半径为二分之根号十五:[5][6]

 

二面角

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二十面截角十二面十二面体有三种二面角,分别为十边形面和六边形面的二面角、十边形面和十角星面的二面角以及十角星面和六边形面的二面角。[10][5]

其中十边形面和六边形面的二面角约为100.812度[10][5]

 

十边形面和十角星面的二面角为负根号五倒数的反余弦值[10],约为116.565度[10][5]

 

十角星面和六边形面的二面角约为142.6226度[10][5]

 

顶点座标

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二十面截角十二面十二面体的顶点座标为下列座标的偶置换[5]

 
 
 
 
 

其中, 黄金比例

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Weisstein, Eric W. (编). Icositruncated Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始内容存档于2021-08-31). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ 3.0 3.1 Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #50, icositruncated dodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-21). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-19]. (原始内容 (PDF)存档于2022-08-14). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra: Icositruncated Dodecadodecahedron. [2022-08-19]. (原始内容存档于2022-07-30). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 11.17. Icositruncated dodecadodecahedron. 3d-meier.de. [2022-08-19]. (原始内容存档于2021-09-28) (德语). 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Roman E. Maeder. 45: icositruncated dodecadodecahedron. mathconsult.ch. [2022-08-19]. (原始内容存档于2020-02-17). 
  8. ^ 8.0 8.1 Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. (原始内容存档于2013-09-02). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  9. ^ V.Bulatov. icositruncated dodecadodecahedron. [2022-08-19]. (原始内容存档于2021-02-28). 
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 Richard Klitzing. icosidodecatruncated icosidodecahedron, icositruncated dodecadodecahedron, idtid. bendwavy.org. [2022-08-19]. (原始内容存档于2021-09-24). 
  11. ^ Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-19]. (原始内容存档 (PDF)于2022-08-14). 
  12. ^ Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. (原始内容存档于2018-07-07). 
  13. ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-19]. (原始内容存档于2022-02-14). 
  14. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172. 
  15. ^ Johann Pitsch. Über Halbreguläre Sternpolyeder. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216. 
  16. ^ Eric W. Weisstein. Icositruncated Dodecadodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26. 页面存档备份,存于互联网档案馆