在数学 中，一个李群 G 的伴随表示 （adjoint representation ）或伴随作用 （adjoint action ）是 G 在它自身的李代数 上的自然表示。这个表示是群 G 在自身上的共轭 作用 的线性化形式。
设 G 是一个李群 ，
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
李代数 （我们将其等价于 G 中恒同元素 的切空间 T e G ）。利用方程
Ψ
(
g
)
=
Ψ
g
{\displaystyle \Psi (g)=\Psi _{g}}
g 属于 G ，定义一个映射
Ψ
:
G
→
A
u
t
(
G
)
,
{\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}
这里
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}
G 的自同构群 而自同构
Ψ
g
{\displaystyle \Psi _{g}}
Ψ
g
(
h
)
=
g
h
g
−
1
{\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}\,}
h 属于 G 。从而 Ψg 微分 是李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
A
d
g
:
g
→
g
.
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}
所谓 Adg g
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
线性变换 。映射
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
将 g 映为 Adg G 的伴随表示 （adjoint representation ）。这确实是 G 的一个表示因为
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
G
L
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}
李子群 且如上伴随映射是李群同态。伴随表示的维数与群 G 的维数相同。
我们可以由李群 G 的一个表示通过在恒同处取导数变为它的李代数的表示 。取伴随映射的导数
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
,
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}
给出李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
伴随表示 ：
a
d
:
g
→
D
e
r
(
g
)
.
{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}
这里
D
e
r
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
导子代数 等同。李代数的伴随表示与这个代数的结构有基本的联系。特别地，我们可以证明
a
d
x
(
y
)
=
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}
对所有
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
李代数的伴随表示 。
如果 G 是一个 n 维阿贝尔群 ，G 的伴随表示是n 维平凡表示 。
如果 G 是一个矩阵李群 （即 GL(n ,C ) 的一个闭子群），则它的李代数是一个以交换子 作李括号的 n ×n 矩阵代数（即
g
l
n
(
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
g x ) = gxg −1 给出。
如果 G 是 SL2 (R ) （行列式为 1 的 2×2 实矩阵），G 的李代数由迹 0 实 2×2 矩阵组成。这个表示等价于 G 在两个变量二次型 空间上通过线性替换给出的作用。
下表总结了定义中提到的不同映射的性质
Ψ
:
G
→
A
u
t
(
G
)
{\displaystyle \Psi \colon G\to \mathrm {Aut} (G)\,}
Ψ
g
:
G
→
G
{\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}
李群同态:
Ψ
g
h
=
Ψ
g
Ψ
h
{\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}
李群自同态:
Ψ
g
(
a
b
)
=
Ψ
g
(
a
)
Ψ
g
(
b
)
{\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}
(
Ψ
g
)
−
1
=
Ψ
g
−
1
{\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
A
d
g
:
g
→
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
李群同态:
A
d
g
h
=
A
d
g
A
d
h
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{gh}=\mathrm {Ad} _{g}\mathrm {Ad} _{h}}
李代数自同态:
A
d
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}}
(
A
d
g
)
−
1
=
A
d
g
−
1
{\displaystyle (\mathrm {Ad} _{g})^{-1}=\mathrm {Ad} _{g^{-1}}}
A
d
g
[
x
,
y
]
=
[
A
d
g
(
x
)
,
A
d
g
(
y
)
]
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} _{g}(x),\mathrm {Ad} _{g}(y)]}
a
d
:
g
→
D
e
r
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})}
a
d
x
:
g
→
g
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
李代数同态:
a
d
{\displaystyle \mathrm {ad} }
a
d
[
x
,
y
]
=
[
a
d
x
,
a
d
y
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}
李代数导子:
a
d
x
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}
a
d
x
[
y
,
z
]
=
[
a
d
x
(
y
)
,
z
]
+
[
y
,
a
d
x
(
z
)
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}(y),z]+[y,\mathrm {ad} _{x}(z)]}
G 在伴随映射下的像 记为 AdG G 连通 ，则伴随表示的核 与 Ψ 的核相同，就是 G 的中心 。从而，如果 G 中心平凡，则连通李群 G 的伴随表示是忠实 的。进一步，如果 G 不连通，伴随映射的核是 G 的单位分支 G 0 的中心化子 。由第一同构定理 我们有
A
d
G
≅
G
/
C
G
(
G
0
)
.
{\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}
如果 G 半单 ，伴随表示的非零权 组成一个根系 。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G =SLn R )。
我们可取对角矩阵 diag(t 1 ,...,t n G 的极大环面 T 。用 T 中元素的共轭作用为
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
↦
[
a
11
t
1
t
2
−
1
a
12
⋯
t
1
t
n
−
1
a
1
n
t
2
t
1
−
1
a
21
a
22
⋯
t
2
t
n
−
1
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
t
n
t
1
−
1
a
n
1
t
n
t
2
−
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 t i t j -1 。G 的根是权
diag(t 1 ,...,t n t i t j -1 。这是 G =SLn R ) 的根系作为e i e j
伴随表示也能对任何域上的代数群 定义。
余伴随表示 （co-adjoint representation ）是伴随表示的逆步表示 。亚历山大·卡里洛夫 （Alexandre Kirillov ）观察到任何向量在余伴随表示中的轨道 是一个辛流形 。按照表示论 中称之为轨道方法 的哲学（另见卡里洛夫特征标公式 （Kirillov character formula ）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群 时最密切。
Fulton, William ; Harris, Joe , Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics 129 , New York: Springer-Verlag , 1991, ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 , ISBN 978-0-387-97527-6 Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 , Springer-Verlag ( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0 
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c3163e2fc6e4dbfb7b63b1ce6f2af936b47d1)
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} _{g}(x),\mathrm {Ad} _{g}(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5175a202fda810ea68d98af9b0060fc867345ec)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e1b8b6ed9c2ebf23cc2720cf4a8845d957ee1c)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}(y),z]+[y,\mathrm {ad} _{x}(z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad559aa8203cee6578f813d5f93bf3c60c1cca2)
