李群

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李群（英语：Lie group，/ˈliː/）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其为连续变换群奠定基础。1893年，法文名词groupes de Lie首次出现在李的学生亚瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的论文第三页中。

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。

总览

绝对值为1的复数集（对应于复平面上圆心在原点、半径为1的单位圆）是一个在复数乘法下的李群，称为圆群。

李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R³中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中G是流形"局部"对称性形成的李群。

李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)（或其双覆盖特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。

定义与样例

• $G$为有限维实解析流形
• 两个解析映射，二元运算$G\times {}G\rightarrow {}G$，和逆映射$G\rightarrow {}G$满足群公理，从而具有群结构。

实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

$\mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy$

意味着$\mu$是一个从积流形$G\times G$到$G$的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射

$(x,y)\mapsto x^{-1}y$

是一个从积流形$G\times G$到$G$的光滑映射。

初步的样例

• $2\times 2$实可逆矩阵构成了一个乘法群，记作$GL(2,\mathbb {R} )$或$GL_{2}(\mathbb {R} )$:

$\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.$

这是一个非紧致的四维实李群；它是$\mathbb {\mathbb {R} } ^{4}$的一个开子集。这个群是非连通的；它有两个连通分量，对应于行列式的正负两种情况。

• 旋转矩阵构成了$GL(2,\mathbf {R} )$的一个子群，记为$SO(2,\mathbf {R} )$。它自己本身也是一个李群：具体地说，它是一个与圆微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角$\varphi$ 作为参数，这个群可以被参数化为如下形式：

$\operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.$

其中，角度的加法对应于$SO(2,\mathbf {R} )$中元素的乘法，角度的相反数对应于逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

• 一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群，其中第一个对角线上的元素为正，第二个对角线上的元素为1。因此，该群包含了如下形式的矩阵：

$A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .$

反例

现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：

$H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},$

其中$a\in \mathbb {P} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$是一个固定的无理数。这是一个环面 $\mathbb {T} ^{2}$ 的子群，它在子空间拓扑下不是李群。 比如说，如果我们取$H$中的一个点$h$的任意小邻域$U$，那么$H$在 $U$中的部分是不连通的。群$H$在环面上反复缠绕，形成了一个$\mathbb {T} ^{2}$的稠密子群。

另一方面，我们可以给群$H$指定另一个拓扑，使得两点$h_{1},h_{2}\in H$之间的距离被定义为群H中连结 $h_{1}$和$h_{2}$的最短路径长度。在这个拓扑下，$H$通过其元素中对应的$\theta$与实直线同胚。在这种拓扑下，$H$仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。

群$H$是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

矩阵李群

用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群；这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall以及 Rossmann等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：

• 定义在R和C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括了元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
• 酉群U(n)（以及特殊酉群SU(n)）, 包含了满足$U^{*}=U^{-1}$（对于特殊酉群而言，还需满足$\mathrm {det} (U)=1$）的n × n复矩阵。
• 正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了满足$R^{\mathrm {T} }=R^{-1}$ （对于特殊正交群而言，还需满足$\mathrm {det} (R)=1$）的n × n实矩阵。

以上列举的群均为经典群。

相关概念

与实李群相对应，复李群是在复流形上定义的（例如SL(2, C)）。类似地，使用一种Q的度量完备化我们可以在 p-进数上定义p-进数李群，一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。

更多李群的样例

参见：李群列表和简单李群列表

李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。

一维李群

一维情况下唯二的连通李群是实直线$\mathbb {R}$ （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群 $S^{1}$ （其群操作为乘法）。 $S^{1}$也常被记作$U(1)$，即$1\times 1$酉群。

二维李群

在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是$\mathbb {R} ^{2}$（其群操作为向量加法）以及一维仿射群（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。

解析李群与光滑李群

部分书籍在定义李群时假设了解析性，本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为$C^{\infty }$）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理.任意$C^{\infty }$李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构

$G,H$均为李群，二者之间的一个同态：$f\,:G\rightarrow H$为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。

李代数

李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状；借助指数映射或源自李代数的叶状结构，可以将李代数的性质提升到李群的层次。

设$G$为李群，其李代数${\mathfrak {g}}$定义为$G$在单位元的切空间。${\mathfrak {g}}$自然具备了矢量空间结构，${\mathfrak {g}}$上的李括积$[,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$定义如下：

1. 定义$G$对自身的伴随作用为 $\mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}$，$x,y\in G$。
2. 取Ad对变元$y\in G$在单位元上的微分，得到李代数上的伴随作用，通常记为$\mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}$，$x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}$。
3. 再对变元$x\in G$微分，得到映射$\mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$。定义李括积为$[X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)$。

不难验证$[,]$满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质，例如：连通李群$G$是交换群当且仅当${\mathfrak {g}}$是交换李代数。

李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义，或者取定局部坐标，用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。

李群对应李代数

若$G$是李群，$H\subset G$是其子群，并带有李群结构，使得包含映射$H\to G$为浸入（不一定是闭的），则可得到子李代数${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$。反之，任意子李代数${\mathfrak {h}}$透过左平移定义了$G$上的叶状结构，取含单位元的极大积分流形，便得到满足前述条件的子群$H\subset G$。此子群未必是闭子群，它可能是$G$的稠密子集（考虑环面的例子）。

李代数的映射${\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}$未必能提升至李群的映射$G_{1}\to G_{2}$，但可提升至映射${\tilde {G}}_{1}\to G_{2}$，其中${\tilde {G}}_{1}$是$G_{1}$的万有覆叠空间。

指数映射

对于任意矢量$X\to {\mathfrak {g}}$，根据常微分方程式的基本理论，存在$G$中的单参数子群$c_{X}(t),c_{X}(0)=e$使得$c_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdot X$。由此得到的映射

$\mathrm {exp} :{\mathfrak {g}}\to G$

$X\mapsto c_{X}(1)$

称为指数映射。它总是解析映射。

若$G$为$\mathrm {GL} (n)$的子群，则$\mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}$，这是指数映射一词的缘由。

当$G$连通且非交换时，指数映射${\mathfrak {g}}\to G$并非同态；局部上，$\mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)$可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。

一般域上的李群

在任意域、环乃至于概形上，都可以定义群概形；这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义，然而李群未必是代数簇。

另一方面，若域$F$对某个绝对值是完备域，其特征为零，则可照搬解析李群的定义以定义域$F$上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是$F=\mathbb {C}$；至于数论方面，特别涉及自守表示的研究上，则须用到$F$为p进数域的情形。

参考条目

• 李型群

参考文献

来源

• D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .