克羅內克δ函數

提示：此條目的主題不是狄拉克δ函數，也不是克羅內克符號。

在數學中，克羅內克函數（又稱克羅內克δ函數、克羅內克δ）$\delta _{ij}\,\!$ 是一個二元函數，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函數的自變量（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.\,\!$ 。

克羅內克函數的值一般簡寫為 $\delta _{ij}\,\!$ 。

克羅內克函數和狄拉克δ函數都使用δ作為符號，但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標，而狄拉克δ函數則只有一個變量。

其它記法

另一種標記方法是使用艾佛森括號（得名於肯尼斯·艾佛森）：

$\delta _{ij}=[i=j]\,\!$ 。

同時，當一個變量為0時，常常會被略去，記號變為 $\delta _{i}\,\!$ ：

$\delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=0\\0,&{\mbox{if }}i\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!$ 。

在線性代數中，克羅內克函數可以被看做一個張量，寫作 $\delta _{j}^{i}\,\!$ 。

數字信號處理

衝激函數

類似的，在數字信號處理中，與克羅內克函數等價的概念是變量為 $\mathbb {Z} \,\!$ (整數)的函數：

$\delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}\,\!$ 。

這個函數代表着一個衝激或單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時，輸出的函數被稱為此單元的衝激響應。

性質

克羅內克函數有篩選性：對任意 $j\in \mathbb {Z} \,\!$ ：

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}\,\!$ 。

如果將整數看做一個裝備了計數測度的測度空間，那麼這個性質和狄拉克δ函數的定義是一樣的：

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y)\,\!$ 。

實際上，狄拉克δ函數是根據克羅內克函數而得名的。在信號處理中，兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定 $\delta (t)\,\,\!$ 為連續的情況（狄拉克函數） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等變量一般是在 離散的情況下（克羅內克函數）。

線性代數中的應用

在線性代數中，單位矩陣可以寫作 $(\delta _{ij})_{i,j=1}^{n}\,\!$ 。

在看做是張量時（克羅內克張量），可以寫作 $\delta _{j}^{i}\,\!$ 。

這個(1,1)向量表示:

• 作為線性映射的單位矩陣。
• 跡數。
• 內積 $V^{*}\otimes V\to K\,\!$ 。
• 映射 $K\to V^{*}\otimes V\,\!$ ，將數量乘積表示為外積的形式。

廣義克羅內克函數

定義廣義克羅內克函數為 $n\times n\,\!$ 矩陣的行列式，以方程式表達為

$\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{bmatrix}\delta _{i_{1}}^{j_{1}}\delta _{i_{2}}^{j_{1}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{1}}\\\delta _{i_{1}}^{j_{2}}\delta _{i_{2}}^{j_{2}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{2}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{1}}^{j_{n}}\delta _{i_{2}}^{j_{n}}&\cdots &\delta _{i_{n}}^{j_{n}}\\\end{bmatrix}}\,\!$ ；

其中，$\delta _{j}^{i}\,\!$ 是個張量函數，定義為 $\delta _{j}^{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ \delta _{ij}\,\!$ 。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

• $\delta _{imn}^{ijk}=\delta _{mn}^{jk}=\delta _{m}^{j}\delta _{n}^{k}-\delta _{n}^{j}\delta _{m}^{k}\,\!$ 。
• $\delta _{ijm}^{ijk}=2\delta _{m}^{k}\,\!$ 。
• $\delta _{ijk}^{ijk}=6\,\!$ 。
• $\delta _{lmn}^{ijk}=\epsilon ^{ijk}\epsilon _{lmn}\,\!$ ；

其中，$\epsilon ^{ijk}\,\!$ 和 $\epsilon _{lmn}\,\!$ 是列維-奇維塔符號。

• $\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=\epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\,\!$ 。
• $\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{12\dots n}=\epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\,\!$ 。
• $\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=n!\ T_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\,\!$ ；

其中，$T_{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}\,\!$ 是 $n\,\!$ 階張量。

積分表示

對任意的整數 $n\,\!$ ，運用標準的留數計算，可以將克羅內克函數表示成積分的形式：

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{x-n-1}dz\,\!$ ；

其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行。

這個表示方式與下面的另一形式等價：

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi \,\!$ 。

參見

• 列維-奇維塔符號
• 狄拉克測度
• 同或門