單葉函數univalent function)是數學領域中的複分析對函數的一種分類,若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集,而函數為單射函數,此函數即為單葉函數。

為一全純函數,且滿足下式

為單葉函數。

舉例

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任何由開集單位圓盤映射到本身的映射 (其中 )為單葉函數。

基本性質

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  為二個複數平面中的開集連通空間,且

 

是一個滿足 的單葉函數(有一對一的對應關係),則 導數恆不為0, 可逆,而且其逆元素 也是全純函數。依鏈式法則可得到下式:

 

對所有 中的複數 皆成立。

和實函數的比較

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實解析函數和全純函數不同,上述的性質在實解析函數中不成立,考慮以下的函數:

 

ƒ(x) = x3。此函數也是單射函數,但在x = 0處其導數為0,其逆元素在 (−1, 1)區間中也不完全是解析函數,也不完全可微。

參考資料

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  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.