内射维度、投射维度与同调维度

投射维度、内射维度与同调维度（又称整体维度）是交换代数中考虑的重要不变量。

定义

以下设 $A$ 为交换环，而 $M$ 为 $A$-模。

$M$ 的内射维度 $\mathrm {id} _{A}(M)$ 定义为其内射分解的最短长度（当 $M=(0)$ 时置 $\mathrm {id} _{A}(0)=-\infty$）。投射维度 $\mathrm {pd} _{A}(M)$ 则定义为其投射分解的最短长度。

利用同调代数的工具，可以进一步得到下述刻划：

命题一. 设 $n\geq 0$ 为整数，下述条件等价：

• $\mathrm {id} _{A}(M)\leq n$。
• 对所有 $A$-模 $N$，有 $i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0$。
• 对所有理想 $I\subset A$，有 $\mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0$。
• 对所有正合序列 $0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0$，若每个 $I$ 都是内射模，则 $Q$ 也是内射模。

命题二. 设 $n\geq 0$ 为整数，下述条件等价：

• $\mathrm {pd} _{A}(M)\leq n$。
• 对所有 $A$-模 $N$，有 $i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0$。
• 对所有正合序列 $0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0$，若每个 $P$ 都是投射模，则 $K$ 也是投射模。

当 $A$ 为诺特环而 $M$ 为有限生成 $A$-模时，上述条件更等价于

• 对所有极大理想 ${\mathfrak {m}}\subset A$，有 $\mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0$
• 对所有极大理想 ${\mathfrak {m}}\subset A$，有 $\mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0$

由此可定义环 $A$ 的同调维度 $\mathrm {hd} (A)$为：

• $\sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)$
• $\sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)$
• 存在 $A$-模 $M,N$ 使得 $\mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0$ 的最大整数 $n$（可能是无穷大）。

性质

内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系：

$\mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})$

$\mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})$

其中的 ${\mathfrak {p}}$ 取遍 $A$ 的所有素理想（或极大理想），而投射维度给出 $\mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}$ 的上半连续函数。事实上，仅须考虑 $M$ 的支撑集中的素理想。

由此立刻得到 $\mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)$。

此外，它们与模的深度也有密切的关系，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：设 $A$ 为局部诺特环，$M$ 为有限生成 $A$-模，而且其投射维度有限，则

$\mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

定理：设 $A$ 为局部诺特环，$M$ 为有限生成 $A$-模，而且其内射维度有限，则

$\mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)$

最后，同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划：

定理（Serre）：一个局部诺特环 $A$ 是正则局部环的充要条件是 $\mathrm {hd} (A)<+\infty$，此时 $\mathrm {hd} (A)=\dim A$。

文献

• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6