完整群

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微分几何中，一个微分流形上的联络的完整（英语：holonomy，又译和乐），描述向量绕闭圈平行移动一周回到起点后，与原先相异的现象。平联络的和乐是一种单值性现象，其于全域有定义。曲联络的和乐则有非平凡的局域和全域特点。

流形上任意一种联络，都可由其平行移动映射给出相应的和乐。常见的和乐由具有特定对称的联络给出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和乐（称为黎曼和乐）。向量丛联络的和乐、嘉当联络的和乐，以及主丛联络的和乐。在该些例子中，联络的和乐可用一个李群描述，称为和乐群。联络的和乐与其曲率密切相关，见安布罗斯-辛格定理。

对黎曼和乐的研究导致了若干重要的发现。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用于对称空间的分类上。然而，很久以后，和乐群才用于更一般的黎曼几何上。1952年， 乔治·德拉姆证明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间，则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后，于1953年，马塞尔·伯格 给出所有不可约和乐的分类。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。

定义

向量丛联络的和乐

设 M 为光滑流形，E 为其上的 k 维向量丛，∇ 为 E 上的联络。给定 M 上一点 x 和以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : [0,1] → M, 该联络定义了一个平行移动映射 P_γ : E_x → E_x. 该映射是可逆线性映射，因此是一般线性群 GL(E_x) 的元素。∇ 以 x 为基点的和乐群定义为

$\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.$

以 x 为基点的限制和乐群是由可缩环圈 γ 给出的子群$\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$.

若 M 连通，则不同基点 x 的和乐群 仅相差 GL(k, R) 的共轭作用。更具体说，若 γ 为 M 中由 x 到 y 的路径，则

$\operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.$

选取 E_x 的另一组基（即以另一种方式将 E_x 视为与 R^k 等同）同样会使和乐群变成 GL(k, R) 中另一个共轭子群。非完全严格的讨论中（下同），可将基点略去，但倘如此行，则和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的重要性质包括：

• $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 GL(k, R) 的连通李子群。
• $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 $\operatorname {Hol} (\nabla )$ 的单位连通支。
• 存在自然的满群同态 $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),$ 其中 $\pi _{1}(M)$ 是 M 的基本群。该同态将同伦类 $[\gamma ]$ 映到陪集 $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
• 若 M 单连通，则 $\operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$
• ∇ 为平（即曲率恒零）当且仅当 $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 为平凡群。

在物理学中，威尔森循环是 tr(P)（特征标理论的迹）。

主丛联络的和乐

主丛联络的和乐与向量丛相仿。设 G 为李群，P 为仿紧光滑流形 M 上的主 G 丛。设 ω 为 P 上的联络。给定 M 中一点 x, 以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纤维上一点 p, 该联络定义了唯一的水平提升 ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ 使得 ${\tilde {\gamma }}(0)=p.$ 水平提升的终点 ${\tilde {\gamma }}(1)$ 未必是 p, 因为其可为 x 纤维上的另一点 p·g. 若两点 p 和 q 之间有分段光滑的水平提升路径连接，则称 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等价关系。

ω 以 p 为基点的和乐群定义为

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.$

若在定义中仅允许可缩环圈 γ 的水平提升，则得到以 p 为基点的受限和乐群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$. 其为和乐群$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的子群。

若 M 和 P 皆连通，则不同基点 p 的和乐群仅在 G 互为共轭。更具体说，若 q 是另一个基点，则有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 于是，

$\operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.$

特别地，

$\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,$

再者，若 p ~ q, 则 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).$ 因此，有时可省略基点不写，但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。

和乐群的若干性质包括：

• $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 G 的连通李子群。
• $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的单位连通支。
• 存在自然的满群同态$\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
• 若 M 单连通，则 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$
• ω 为平（即曲率恒零）当且仅当 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 为平凡群。

和乐丛

同上，设 M 为连通仿紧流形，P 为其上的主 G 丛，ω 为 P 上的联络。设 p ∈ P 为主丛上的任意一点。以 H (p) 表示 P 中可与 p 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 H (p) 连同其到 M 的投影也构成 M 上的主丛，且具有结构群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$（即 H (p) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 丛）。 此主丛称为该联络 ω 经过 p 的和乐丛。ω 限制到 H (p) 上也是一个联络，因为其平行移动映射保持 H (p) 不变。故 H (p) 是该联络的约化主丛。此外，H (p) 任何真子丛都不被平行移动保持，所以其在该类约化主丛之中为最小。

与和乐群类似，和乐丛在环绕它的主丛 P 中等变。具体说，若 q ∈ P 是另一个基点，则有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假设，M 是路连通的）。故 H (q) = H (p) g. 于是，两者在和乐丛上导出的联络是相容的，即：两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 g.

单延拓群

和乐丛 H (p) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 丛，因此受限和乐群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$（作为全个和乐群的正规子群）也作用在 H (p) 上。离散群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 称为联络的单延拓群。其作用在商丛 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。存在满同态$\varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),$ 使得 $\varphi (\pi _{1}(M))$ 作用在 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。基本群的这个群作用称为基本群的单延拓表示。

局域及无穷小和乐

若 π: P → M 为主丛，ω 为 P 的联络，则 ω 的和乐可限制到 M 的开集的纤维上。若 U 为 M 的连通开集，则将 ω 限制到 U 上可得丛 π⁻¹U 的联络。该丛的和乐群记为 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),$ 而受限和乐群则记为 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),$ 其中 p 为满足 π(p) ∈ U 的点。

若 U ⊂ V 为包含 π(p) 的两个开集，则有包含关系

$\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$

p 点的局域和乐群定义为

$\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),$

其中 U_k 为任意一族满足 $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ 的递降（即 $U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k$ ）连通开集。

局域和乐群有以下性质：

1. 其为受限和乐群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 的连通李子群。
2. 每点 p 都有邻域 V 使得 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$ 局域和乐群仅取决于 p, 而非序列 U_k 的选取。
3. 局域和乐群在结构群 G 的作用下等变，即对任意 g ∈ G, $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).$（注意由性质 1, 局域和乐群是 G 的连通李子群，故伴随 Ad 有定义。

局域和乐群不一定有全域的良好性质，例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而，有以下的定理：

• 若局域和乐群的维数恒定，则局域和乐群与受限和乐群相等，即$\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$

词源

英文Holonomy与“全纯”（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一词由柯西的两个学生夏尔·布里奥（1817–1882）和让-克劳迪·波桂（1819–1895）引入，来自希腊文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分别是“全”、“形态”。

"Holonomy"与"holomorphic"的前半（holos）一样。至于后半：

非常难在网络上找出holonomic（或holonomy）的词源。我找到（鸣谢普林斯顿的约翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中，若某种意义下，能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯，就叫一个和乐的 （"holonomic"）系统，所以它的意思“整体法则”（"entire-law"）很贴切。球在桌上滚动并不和乐，因为沿不同的路径滚到同一点，可以使球的方向不同。然而，将“和乐”理解成“整体法则”恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思，可能更多时解“数算”（counting）。它与我们的词数字"number"来自同一个印欧词根。

——S. Golwala

参见νόμος（nomos）和-nomy。

安布罗斯－辛格定理

安布罗斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主丛联络的和乐与该联络的曲率形式之间的关系。为理解此定理，先考虑较熟知的情况，如仿射联络、切丛联络（或其特例列维－奇维塔联络）。沿无穷小平行四边形的边界走一圈，就会感受到曲率。

引入更多细节，若$\sigma :[0,1]\times [0,1]\to M$是$M$中某曲面的坐标表示，则向量$V$可以沿$\sigma$的边界平行移动，由原点出发，先沿$(x,0)$，再沿$(1,y)$，再$(x,1)$（$x$反方向，即由$1$递减至$0$），最后$(0,y)$，回到原点。此为和乐环圈的特例，因为向量$V$沿该圈平行移动的结果，相当于$\sigma$边界的提升，对应的和乐群元素，作用在$V$上。当平行四边形缩至无穷小时（即沿更小的平行四边形圈，对应$\sigma$坐标中的区域$[0,x]\times [0,y]$，而$x,y$趋向于$0$），就会明确得到曲率。换言之，取平行移动映射于$x=y=0$处的导数：

${\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V$

其中$R$为曲率张量。所以，粗略而言，曲率给出闭环圈（无穷小平行四边形）上的无穷小和乐。更严格地，曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之，$R(X,Y)$是$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$的李代数的元素。

一般来说，考虑结构群为$G$的主丛$P\to M$某联络的和乐。以${\mathfrak {g}}$表示$G$的李代数，则联络的曲率形式是$P$上的${\mathfrak {g}}$值2-形式$\Omega$。安布罗斯－辛格定理断言：

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$的李代数，是由${\mathfrak {g}}$中所有形如$\Omega _{q}(X,Y)$的元素线性张成，其中$q$取遍所有可以用水平曲线$(q\sim p)$与$p$连接的点，而$X,Y$皆是$q$处的水平切向量。

亦可用和乐丛的说法，复述如下：

$\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$的李代数，是${\mathfrak {g}}$中形如$\Omega _{q}(X,Y)$的元素张成的线性子空间，其中$q$取遍$H(p)$的元素，而$X,Y$取遍$q$处的水平向量。

黎曼和乐

可约和乐与德拉姆分解

设$x\in M$为任意一点，则和乐群$\mathrm {Hol} (M)$作用在切空间$T_{x}M$上。视之为群的表示，则可能不可约，亦可能可约，即可以将$T_{x}M$分解成正交子空间的直和

$T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,$

而两个子空间皆在$\mathrm {Hol} (M)$作用下不变。此时亦称$M$可约。

设$M$为可约流形。上式说明，在每一点$x$处，切空间可以约化分解成$T'_{x}M$和$T''_{x}M$，所以当$x$变动时，就定义出向量丛$T'M$和$T''M$，两者皆光滑分布，且是弗比尼斯可积。两个分布的积分流形皆为完全测地子流形，换言之，子流形的测地线皆为原流形的测地线。所以局部观察$M$，是笛卡尔积$M'\times M''$。重复上述分解，直到切空间完全约化，则得到（局部）德拉姆同构：

设$M$为单连通黎曼流形，又设在和乐群的作用下，$TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M$为切丛的完全约化分解，而和乐群在$T^{(0)}M$上的作用平凡（恒等映射），则$M$局部等距同构于乘积

$V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},$

其中$V_{0}$是欧氏开集，而每个$V_{i}$是$T^{(i)}M$的积分流形。更甚者，$\mathrm {Hol} (M)$是$\mathrm {Hol} (M_{i})$的直积（$M_{i}$是$T^{(i)}$过某点的极大积分流形）。

若同时假设$M$测地完备（每点每个方向的测地线皆可无限延伸），则定理不仅局部成立，而是全域成立，且各$M_{i}$本身也是测地完备流形。

伯格分类

1955年，马塞尔·伯格将不可约（并非局部等同积空间）、非对称（并非局部地黎曼对称）、单连通的黎曼流形，可能具有的和乐群，完全分类。伯格分类表如下：

$\mathrm {Hol} (g)$	$\mathrm {dim} (M)$	流形类型	备注
正交群$SO(n)$	$n$	可定向流形	—
酉群$U(n)$	$2n$	凯勒流形	凯勒
特殊酉群$SU(n)$	$2n$	卡拉比–丘流形	里奇平、凯勒
辛群$\mathrm {Sp} (n)$	$4n$	超凯勒流形	里奇平、凯勒
$\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	$4n$	四元数凯勒流形	爱因斯坦
例外单李群$G_{2}$	$7$	G2流形	里奇平
旋量群$\mathrm {Spin} (7)$	$8$	Spin(7)流形	里奇平

1965年，爱德蒙·博南及Vivian Yoh Kraines同时研究和乐群为$\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$的流形，构造出其平行4形式。

爱德蒙·博南于1966年最早引入和乐群为$G_{2}$或$\mathrm {Spin} (7)$的流形，他构造出全部平行形式，并证明该些流形皆为里奇平。

伯格原先的表中，未排除$\mathrm {Spin} (9)$（作为$SO(16)$的子群）。后来，迪米特里·阿列克谢耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，与布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称，即与凯莱平面$F_{4}/\mathrm {Spin} (9)$局部等距同构，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现，见$G_{2}$流形和$\mathrm {Spin} (7)$流形。

注意$\mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)$，故超凯勒流形必为卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必为凯勒，而凯勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的证明解释。另有一个简单几何证明，由卡洛斯·奥尔莫斯（Carlos E. Olmos）于2005年给出。第一步要证，若黎曼流形并非局部对称空间，而约化和乐在切空间上的作用不可约，则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群递移作用于球面：上表所列各项，以及两个额外情况，分别是$\mathrm {Spin} (9)$（作用于$\mathbb {R} ^{16}$），以及$U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)$（作用于$\mathbb {R} ^{4m}$）。最后，要验证前者只能作为局部对称空间（局部同构于的凯莱射影平面）的和乐群，而后者则根本不能作为和乐群出现。

伯格的原分类，尚有涵盖非正定的伪黎曼度量，其给出非局部对称和乐的可能列表为：

和乐群	度量符号
$SO(p,q)$	$(p,q)$
$U(p,q)$	$(2p,2q)$
$SU(p,q)$	$(2p,2q)$
$\mathrm {Sp} (p,q)$	$(4p,4q)$
$\mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)$	$(4p,4q)$
$SO(n,\mathbb {C} )$	$(n,n)$
$SO(n,\mathbb {H} )$	$(2n,2n)$
分裂$G_{2}$	$(4,3)$
$G_{2}(\mathbb {C} )$	$(7,7)$
$\mathrm {Spin} (4,3)$	$(4,4)$
$\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$	$(7,7)$
$(*)\ \mathrm {Spin} (5,4)$	$(8,8)$
$(*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )$	$(16,16)$

但是，标$(*)$的两种和乐群（分裂$\mathrm {Spin} (9)$及复化$\mathrm {Spin} (9)$），如同正定的情况，只能在局部对称空间出现，故应予删去。至于复化和乐群$SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$三种，可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为$SO(n,\mathbb {H} )$子群的流形，R. McLean证明其为局部平。

对称黎曼空间，因为局部与齐性空间$G/H$同构，其局部和乐群同构于$H$，经已分类完毕。

最后，伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络的流形的可能和乐群，见下节。

特殊和乐及旋量

一些流形具特殊的和乐，该性质亦可藉平行旋量是否存在来刻划（平行旋量即协变导数为零的旋量场），尤其有以下各项命题成立：

• $\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)$，当且仅当$M$上存在平行的射影纯旋量场。
• 若$M$为旋量流形，则$\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)$，当且仅当$M$具有至少两个线性独立的平行纯旋量场。事实上，平行纯旋量场足以确定由结构群到$SU(n)$的典范归约。
• 若$M$是七维旋量流形，则$M$具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是$G_{2}$的子群。
• 若$M$为八维旋量流形，则$M$具有非平凡平行旋量场，当且仅当和乐群是$\mathrm {Spin} (7)$的子群。

幺正与特殊幺正和乐经常连带扭量理论、殆复流形一同研究。

应用

弦论

具特殊和乐的黎曼流形，对弦论紧化很重要。原因是，特殊和乐流形上，存在共变常值（即平行）旋量，于是保一部分超对称。较重要的紧化是在具$SU(2)$或$SU(3)$和乐的卡拉比–丘流形上，以及$G_{2}$流形上。

机器学习

在机器学习，尤其流形学习方面，曾有人提出，藉计算黎曼流形的和乐，得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构，其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限，无法完全准确计算出和乐群，但利用来自谱图论的思想（类似向量扩散映射），有可能构造出数值近似。所得的算法“几何流形分量估计量”（英语：Geometric Manifold Component Estimator，简写GeoManCEr“探地者”），能给出德拉姆分解的数值近似，并应用于现实数据。

仿射和乐

仿射和乐群（英语：affine holonomy groups），是无挠仿射联络的和乐群；其中一些不能作为（伪）黎曼和乐群出现，称为非度量和乐群（英语：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群，所以离完成分类尚有很远，但仍可以将不可约的仿射和乐分类。

伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中，发现对于非局部对称的无挠仿射联络而言，和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则（英语：Berger's first criterion）是安布罗斯－辛格定理（即曲率张量生成和乐的李代数，见前节）的后果；而第二准则，来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则，且作用不可约的群，可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。

但伯格的列表，其后证实并未齐全。罗伯特·布莱恩特（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有时称为“怪和乐”（exotic holonomies）。努力搜索例子之后，最终由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可约仿射和乐群的分类，而反方向的结果则由布莱恩特（2000年）证明，即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。

观察到表中的群和埃尔米特对称空间、四元数凯勒对称空间之间有联系之后，Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确，见于Schwachhöfer（2001）。

设$V$为有限维复向量空间，$H\subseteq \mathrm {Aut} (V)$为不可约半单复连通李子群，又设$K\subseteq H$为极大紧子群。

1. 若有不可约埃尔米特对称空间形如$G/(U(1)\cdot K)$，则$H$和$\mathbb {C} ^{*}\cdot H$两者皆为非对称不可约仿射和乐群，其中$V$为$K$的切表示。
2. 若有不可约四元数凯勒对称空间形如$G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)$，则$H$为非对称不可约仿射和乐群，而当$\dim V=4$时，$\mathbb {C} ^{*}\cdot H$亦然。此时，$\mathrm {Sp} (1)\cdot K$的复化切表示是$\mathbb {C} ^{2}\otimes V$，而$H$保$V$上某个复辛形式。

上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群，例外仅有：

${\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}$

利用埃尔米特对称空间的分类，第一族的复仿射和乐群有：

${\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}$

其中$Z_{\mathbb {C} }$可取平凡群，亦可取为$\mathbb {C} ^{*}$。

同样，用四元数凯勒对称空间的分类，第二族复辛和乐群有：

${\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}$

（第二行中，$Z_{\mathbb {C} }$必须取为平凡群，除非$n=2$，此时可取为$\mathbb {C} ^{*}$。）

从以上各列表，可以观察出一个结论，类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面：复和乐表示皆为预齐性向量空间。但是，未知此事实的概念性证明。

不可约实仿射和乐的分类，用“实仿射和乐复化成复仿射和乐”此结论，结合上表，仔细分析便得。

参见

• A-B效应

参考文献

• Agricola, Ilka. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion [Srní讲座：论有挠不可积几何]. Arch. Math. 2006, 42: 5–84. arXiv:math/0606705  （英语）. 
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