四阶八边形镶嵌

在几何学中，四阶八边形镶嵌是由八边形组成的双曲面正镶嵌图，在施莱夫利符号中用{8,4}表示。四阶八边形镶嵌每个顶点皆由四个八边形共用，且八边形不重叠，这样一来，该点处的内角和将超过360度，因此无法存于平面上，但可以在双曲面上作出。

四阶八边形镶嵌

庞加莱圆盘模型
类别	双曲正镶嵌
对偶多面体	八阶正方形镶嵌
识别
鲍尔斯缩写	socat
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	{8,4} r{8,8}
威佐夫符号	4 | 8 2
组成与布局
顶点图	84
对称性
对称群	[8,4], (*842) [8,8], (*882)
旋转对称群	[8,4]+, (842)
特性
点可递、 边可递、 面可递
图像
八阶正方形镶嵌 （对偶多面体）

均匀构造

该镶嵌有四种均匀构造，其中三种是透过从[8,8]万花筒中移除镜射线而形成的。 在二阶以及四阶顶点间移除镜射线 [8,8,1⁺]，会成为[(8,8,4)], (*884)对称性。 在[8,4^*]中移除两条镜射线，剩余的镜射线则为*4444对称性。

四阶八边形镶嵌的四种均匀涂色

均匀涂色
对称性	[8,4] (*842)	[8,8] (*882) =	[(8,4,8)] = [8,8,1+] (*884) = =	[1+,8,8,1+] (*4444) =
图示	{8,4}	r{8,8}	r(8,4,8) = r{8,8}1⁄2	r{8,4}1⁄8 = r{8,8}1⁄4
考斯特图			= =	= = =

对称性

可表示以正六边形的八边镜射的双曲万花筒。 这种由八个二阶交叉反射的对称性在轨形符号被称为(*22222222)或著(*2⁸)。 在考斯特表示法可表示为[8^*,4]， 从三个的镜射线当中移除两条穿过八边形中心的镜射线。 在原本六边形基础中对所有的两个顶点加入中垂线则可以限定出一个偏方面体44222对称群；加入对角线则可以限定出一个*444对称群；加入中垂线则可以限定出一个*4222对称群；全部加入则限定出了一个*842对称群。

*444

*4222

*832

该镶嵌有一种表面涂色，即将八边形交错涂上不同颜色。该表面涂色的图形可以用t₁{8,8}的施莱夫利符号表示，是一种半正镶嵌，称为截半八阶八边形镶嵌

相关多面体与镶嵌

该镶嵌在拓扑学中和每个面皆为八边形的多面体及镶嵌相关， 从正八边形镶嵌，施莱夫利符号皆为{8,n}，而考斯特符号为，从n到无穷。

球面	双曲镶嵌
8.8	83	84	85	86	87	88	...8∞

该镶嵌在拓朴学中也和每个顶点有着四个面的多面体及镶嵌相关，由正八面体开始， 施莱夫利符号皆为{n,4}，而考斯特符号为，从n到无穷。

球面镶嵌		多面体	双曲镶嵌
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

{3,4}

{4,4}

{5,4}

{6,4}

{7,4}

{8,4}

...

{∞,4}

参见

• 正方形镶嵌
• 正八边形镶嵌

参考资料

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
• Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld. 
• Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）