实数完备性

直观上，实数完备性（英语：Completeness of the real numbers）意味着实数轴上（以理查德·戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等价命题

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为出发点。以下从最小上界定理出发，来证明其他等价命题。

最小上界性

又称为上确界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 简称LUB），也就是

定理 — 集合 $A\subset \mathbb {R}$ 且 $A\neq \varnothing$ ，若 $A$ 存在 $d\in \mathbb {R}$ ，使得：

“对所有的 $a\in A$ ， $a\leq d$ ”（称 $d$ 为 $A\subset \mathbb {R}$ 的一个上界）

则存在 $s\in \mathbb {R}$ 使得：

“ $s$ 为 $A$ 的一个上界 ”且 “对所有 $r\in \mathbb {R}$ ，只要 $r$ 为 $A$ 的一个上界，则 $s\leq r$ ”

也就是说，实数非空子集有上界，则它有最小上界。其证明请参见实数的构造。

柯西收敛准则

设 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 是实数柯西序列。设 S 为这样一个集合，其中每个实数只大于序列 $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 中的有限个成员。 $\forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}$ ，设 $N\in \mathbb {N} ^{+}$ 使得 $\forall n,m\geq N$ ， $|s_{n}-s_{m}|<\varepsilon$ 。于是这个序列在区间 $(s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )$ 里出现无限多次，而且只在它的补集里最多出现有限次。这意味着 $s_{N}-\varepsilon \in$ S，因此 S $\not =\emptyset$ 。另外 $s_{N}+\varepsilon$ 是 S 的上界。于是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 $s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon$ 。由三角不等式，当 n>N 时成立时 $d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$ 。所以 $s_{n}\longrightarrow b$ 。

满足柯西收敛准则的度量空间称为完备空间，若取函数 $d$ 为

d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}

可以验证 $(\mathbb {R} ,\,d)$ 为一度量空间，这样本节的结果也可以重新叙述为“实数系 $\mathbb {R}$ 有最小上界定理等价于 $(\mathbb {R} ,\,d)$ 为完备空间。”

区间套原理

定理声称对于任一的有界闭区间套 $I n$ （例如 $I n = [a n, b n]$ 并满足 $a n \leq b n$ ），它们的交集 $I n$ 非空，且为闭区间 $[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$ ；特别地，假若 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$ ，则它们的交集J为一个包含且仅包含 $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ 的单点集。

单调有界定理

如果a_k是一个单调的实数序列（例如a_k ≤ a_k+1），则这个序列具有有限极限，当且仅当序列是有界的。证明可以通过利用LUB公理来完成。

聚点定理

波尔查诺-魏尔施特拉斯定理（英语：Bolzano–Weierstrass theorem）说明， $\mathbb {R}$ 中的一个子集 $E$ 是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当 $E$ 是有界闭集。更一般地，这个定理对有限维实向量空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 亦有效。

参考资料

Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).