對角矩陣

對角矩陣（英語：diagonal matrix）是一類除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n階方塊矩陣$\mathbf {D}$ = (d_i,j)符合以下性質：

$d_{i,j}=0{\mbox{ if }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

則矩陣$\mathbf {D}$為對角矩陣。

例子

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}$

均為對角矩陣

矩陣運算

加法

${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}$

乘法

${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}$

逆矩陣

${\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}$ 若且唯若 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 均不為零。

性質

• 單位矩陣 $\mathbf {I} _{n}$ 及零矩陣恆為對角矩陣。
• 對角矩陣是對稱矩陣、上三角矩陣及下三角矩陣。
• (定義)若對角矩陣主對角線上的元素都相等，則又稱其為數量矩陣。(性質)數量矩陣可表示為單位矩陣及一個係數 $\lambda$ 的乘積 $\lambda \mathbf {I} _{n}$；單位矩陣和零矩陣可以被視作為特殊的數量矩陣。
• 對角矩陣 ${\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ 的特徵值為 $a_{1},\dots ,a_{n}$，其特徵向量為單位向量 $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$。
• 對角矩陣 ${\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ 的行列式為其特徵值的乘積，即 $\prod _{i=1}^{n}a_{i}$。

方陣與對角矩陣相似的充分必要條件

$n$階方陣可進行對角化的充分必要條件是：

• $n$階方陣存在$n$個線性獨立的特徵向量
  • 推論：如果這個$n$階方陣有$n$階個不同的特徵值，那麼矩陣必然存在相似矩陣
• 如果$n$階方陣存在重複的特徵值，每個特徵值的線性獨立的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重複次數

參考

• 三角矩陣
• 對角優勢矩陣