在線性代數中,對稱矩陣(英語:symmetric matrix)指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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![{\displaystyle A=A^{\textrm {T}}\ \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1b0639778d31e3eee2c8582f8fa33a4bf320fa)
對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線(左上至右下)為軸進行對稱。若將其寫作
,則对所有的i和j,
![{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\ \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345ee164a8ed5ddbfaf43a3dabb821bcbed54324)
下列是3×3的對稱矩陣:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60305cc200c2ca3432be53fc0c983f8914d2c59)
- 對於任何方形矩陣 , 是對稱矩陣。
- 為方形矩陣是 為對稱矩陣的必要條件,即對稱矩陣行數必等於列數。
- 對角矩陣都是對稱矩陣。
- 若且唯若兩者的乘法可交換(即 )時,兩個對稱矩陣的積( )是對稱矩陣。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。[來源請求]
- 任何方形矩陣 ,如果它的元素屬於一個特徵不為2的域(例如實數),可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和:
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- 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積,每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
- 若對稱矩陣 的每個元素均為實數, 是實對稱矩陣。
- 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
- 如果X是對稱矩陣,那麼 也是對稱矩陣.
实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。
Rn上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = xTAx的形式,其中A是对称的n × n矩阵。于是,根据谱定理,可以说每一个二次型,不考虑Rn的正交基的选择,“看起来像”:
-
其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究,以及水平集{x : q(x) = 1}的研究,它们是圆锥曲线的推广。
这是很重要的,部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现,都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述;这是泰勒定理的一个结果。
对称阵 Z 分解为3行3列:
-
当且仅当
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时, 存在 , 使得
-
成立。
- ^ A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471.