导出拓扑

在拓扑学与相关数学领域里，导出拓扑（英语：induced topology，或译诱导拓扑）是指透过拓扑空间与某个集合间的函数，所导出该集合之拓扑。该集合可能是函数的定义域或到达域。

定义

导出拓扑的定义如下：

令 X₀、X₁ 为集合，$f:X_{0}\to X_{1}$ 为由 X₀ 映射至 X₁ 的函数。

若 $\tau _{0}$ 为 X₀ 上的拓扑，则由 $f$ 在 X₁ 上导出之拓扑为 $\{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}$。

若 $\tau _{1}$ 为 X₁ 上的拓扑，则由 $f$ 在 X₀ 上导出之拓扑为 $\{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}$。

可以看到，上述两个定义都是使用原像，因为原像会维持集合的交集与并集，但像则不一定可以。举例来说，考虑一具有拓扑 $\{\{-2,-1\},\{1,2\}\}$ 之集合 $X_{0}=\{-2,-1,1,2\}$、一集合 $X_{1}=\{-1,0,1\}$，以及一函数 $f:X_{0}\to X_{1}$，使得 $f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1$。可知，$\tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}$ 不会形成一个拓扑，因为 $\{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}$，但 $\{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}$。

下面为导出拓扑的等价定义：

由 f 在 X₁ 上导出之拓扑 $\tau _{1}$ 为使得 f 是连续的最精细拓扑。此一拓扑为 X₁ 上终拓扑之一例。

由 f 在 X₀ 上导出之拓扑 $\tau _{0}$ 为使得 f 是连续的最粗糙拓扑。此一拓扑为 X₀ 上初拓扑之一例。

例子

• 商拓扑是个由商映射导出之拓扑。
• 若 f 是个包含映射，则 f 在 X₀ 上会导出子空间拓扑。

参考资料

• Hu, Sze-Tsen. Elements of general topology. Holden-Day. 1969. 

另见

• 自然拓扑