在范畴论中,函子 F , G {\displaystyle F,G} 若满足 H o m ( F ( − ) , − ) = H o m ( − , G ( − ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (F(-),-)=\mathrm {Hom} (-,G(-))} ,则称之为一对伴随函子,其中 G {\displaystyle G} 称为 F {\displaystyle F} 的右伴随函子,而 F {\displaystyle F} 是 G {\displaystyle G} 的左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。
设 F : C 1 → C 2 , G : C 2 → C 1 {\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},\;G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}} 为函子,若存在双函子的同构
则称 F , G {\displaystyle F,G} 为一对伴随函子, G {\displaystyle G} 称为 F {\displaystyle F} 的右伴随函子,而 F {\displaystyle F} 是 G {\displaystyle G} 的左伴随函子。
上述同构进一步给出两个同构
分别在同构的左右两侧置 i d F ( − ) {\displaystyle \mathrm {id} _{F(-)}} 与 i d G ( − ) {\displaystyle \mathrm {id} _{G(-)}} ,遂得到函子间的态射(即自然变换):
定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。
设 F , G {\displaystyle F,G} 是一对伴随函子,若 F {\displaystyle F} 为右正合则 G {\displaystyle G} 为左正合;此命题可由正合函子与极限的定义直接导出。
伴随函子在数学中处处可见,以下仅举出几个例子: