平行六面体的体积是底面 与高 的乘积,即
- 。
这里的高是底面与对面的垂直距离。
用向量来定义平行六面体。
另外一个方法是用向量 , ,以及 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 等于标量三重积:
- 。
证明:
以 和 来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积 为:
- ,
其中 是 与 之间的角,而高为:
- ,
其中 是 与 之间的角。
从图中我们可以看到, 的大小限定为 。而向量 与 之间的角 则有可能大于90°( )。也就是说,由于 与 平行, 的值要么等于 ,要么等于 。因此:
- ,
且
- 。
我们得出结论:
- ,
于是,根据标量积的定义,它等于 的绝对值,即:
- 。
证毕。
最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值:
- 。
若 、 及 是三条两两相邻的棱长,且 、 及 是三条棱边的夹角,则平行六面体的体积为:
- 。
证明
从上面可知,平行六面体的体积可表示为:
-
其中:
- 。
因此
-
依行列式及标量积定义展开公式右手边,即可得上述公式。
选取任意一顶点 以其相邻三个顶点 、 及 ,则体积可表示为:
-
如果平行六面体具有对称平面,则一定是以下两种情况之一:
- 四个面是长方形;
- 两个面是菱形,而在另外四个面中,两个相邻面相等,另外两个面也相等。
长方体是六个面都是长方形的平行六面体;正方体是六个面都是正方形的平行六面体。
菱面体是六个面都是菱形的平行六面体;三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。
完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年,发现了数十个完美平行六面体的例子[1],包括棱长271、106及103,劣面对角线长101、 266及255,优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。
平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。
特别地,n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此,平行四边形就是2维超平行体,平行六面体就是3维超平行体。
n维超平行体的所有对角线相交于一点,并被这个点所平分。
位于 空间中的n维超平行体的n维体积( ),可以用格拉姆行列式的方法来计算。