长方体
在几何学中，长方体（Rectangular cuboid）是一种由六个矩形组成、且每条棱对应的二面角都是直角的凸多面体，是四角柱的一种，也是一种现代建筑常见的形状[1]。长方体和矩形柱（底面为矩形的棱柱），其对应的多面体图与立方体对应的多面体图相同，但习惯上仍然会以长方体称之[2]。在部分初等教育的教材中会将立方体视为长方体的一个特例[3]。
 长方体模型 | ||
| 类别 | 柱体 六面体 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 双矩形锥 | |
| 数学表示法 | ||
| 考克斯特符号 |   | |
| 施莱夫利符号 | { }×{ }×{ }或{ }3 | |
| 性质 | ||
| 面 | 6 | |
| 边 | 12 | |
| 顶点 | 8 | |
| 欧拉特征数 | F=6, E=12, V=8 （χ=2） | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 正方形、长方形、方形或矩形 | |
| 顶点图 | V4.4.4 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | D2h, [2,2], (*222), order 8 | |
| 特性 | ||
| 凸、 等角 | ||
| 图像 | ||
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英文单词cuboid一般翻作长方体[4]，然而其也可以指四边形六面体，与长方体并不完全相同，而长方体是一种cuboid。
性质
编辑长方体是一种六面体，由6个矩形组成，共有6个面、12条边和8个顶点。每条相邻的边皆互相垂直、每个相邻的面也互相垂直[5][6]。长方体被平面所截后，截面的形状有可能是三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形、筝形、五边形和六边形。[7]
组成
编辑长方体与立方体拓朴结构相同，皆具有6个面、12条边和8个顶点，其中每条边都是两个矩形的公共边，对应的棱之二面角为直角。8个顶点中，每个顶点都是3个矩形的公共顶点，对应的角为三面角。在长方体的6个矩形面中，一般可以分为3组两两全等的矩形[5][8]。
体积与表面积
编辑长方体各边的边长通常可以分为长、宽及高，若已知长方体的长、宽及高则其体积与表面积为：
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展开图
编辑边长全部等长的长方体，即立方体，其共有11种展开图[11]，而有2种边长的长方体（或称正四角柱）其展开图有27种[12]，而若长方体是有3种边长的长方体，则展开图的数量有54种[13][14]。
种类
编辑长方体大致可以分为三种，一种是有三组等长边的长方体、另一种是有三组等长边的长方体，通常可以称为正四角柱，最后一种是长方体的特例，即所有边等长的长方体，称为立方体或正方体[3]。
| 名称 | 正方体 |
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|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 考克斯特记号 |   
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| ||||
| 施莱夫利符号 | {4,3} | {4}×{ } rr{4,2} |
{ }3 tr{2,2} | ||||
| 威佐夫符号 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | ||||
| 对称性 | Oh [4,3] (*432) |
D4h [4,2] (*422) |
D2h [2,2] (*222) | ||||
| 对称性阶数 | 24 | 16 | 8 | ||||
| 图像 | 
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| 对应相同对称性 的立方体表面 涂色结果 |
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用途
编辑长方体常见于日常生活中，如包装盒[15]、搬运用纸箱[16][17][18]或货柜[19]、一些家具的形状[20]（如桌子、柜子、床等）、现代建筑物的形状[1]等。而在产品包装方面，由于长方体是一种可以独立填满空间的形状[21]，因此许多产品（如饮料包装）会选择使用长方体的方式进行包装。[22]
相关多面体
编辑在字典中，经常会将长方体的英文翻译成Cuboid[4]，Cuboid确实有时会指长方体[23]，但是两者还是有区别的，Cuboid也泛指所有由6个四边形以类似立方体的互相连接方式组成的立体[24]，即四边形六面体（quadrilateral hexahedron），此时面不再限于矩形，其对应的多面体图与立方体和长方体对应的多面体图相同。但此定义在中文语境中就不存在——中文语境的长方体仅指所有角都是直角的六面体。而Cuboid所泛指的由6个四边形以类似立方体的互相连接方式组成的立体则与长方体有着相同的拓朴结构，这些立体包括了立方体、长方体、三方偏方面体、四角锥台、平行六面体和菱形六面体等形状。
| 四边形六面体（cuboid） 6个面、12条边、8个顶点 | ||||||
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| 立方体 | 长方体 （三对矩形） |
三方偏方面体 （全等菱形） |
三方偏方面体 （全等四边形） |
四角锥台 （平截四角锥） |
平行六面体 （三对 平行四边形） |
菱形六面体 （三对菱形） |
| Oh, [4,3], (*432) 48阶 |
D2h, [2,2], (*222) 8阶 |
D3d, [2+,6], (2*3) 12阶 |
D3, [2,3]+, (223) 6阶 |
C4v, [4], (*44) 8阶 |
Ci, [2+,2+], (×) 2阶 | |
参见
编辑参考文献
编辑- ^ 1.0 1.1 彭琛. 谈现代工业建筑的立面设计. 四川建材. 2013, (1): 84––86.
- ^ Robertson, Stewart Alexander. Polytopes and Symmetry. Cambridge University Press. 1984: 75. ISBN 9780521277396.
- ^ 3.0 3.1 長方體與正方體的分類及命名 (PDF). wd.naer.edu.tw. [2019-09-28]. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-28）.
- ^ 4.0 4.1 長方體 cuboid. 乐词网, 国家教育研究院. [2022-12-28]. （原始内容存档于2022-12-28）.
- ^ 5.0 5.1 生活中的立體圖形. 教育部中学学习资源. [2019-09-28]. （原始内容存档于2020-02-03）.
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- ^ 立體圖形 (PDF). www.gjjh.tp.edu.tw. [2022-12-28]. （原始内容存档 (PDF)于2022-12-28）.
- ^ 9.0 9.1 Weisstein, Eric W. (编). Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 『体積』の教科書制作 (PDF), 木曜３限数学心理学（２０１３年度） (鳥取大学), [2019-09-28], （原始内容存档 (PDF)于2019-09-28）
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Cube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 直方体の展開図. 2007-03-08 [2019年9月28日]. （原始内容存档于2019年9月28日）.
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- ^ 立方体・直方体の展開図の形は何種類？. feynmanino.watson.jp. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-09-28）.
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- ^ Subramanian, Sai Ganesh and Eng, Mathew and Krishnamurthy, Vinayak and Akleman, Ergun, Delaunay Lofts: A New Class of Space-filling Shapes, ACM SIGGRAPH 2019 Posters, SIGGRAPH '19 (Los Angeles, California: ACM), 2019: 81:1––81:2, ISBN 978-1-4503-6314-3, doi:10.1145/3306214.3338576
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- ^ Weisstein, Eric W. (编). Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Dupuis, Nathan Fellowes. Elements of Synthetic Solid Geometry. Macmillan. 1893: 53 [2018-12-01].