截角大十二面体

截角大十二面体
类别	星形均匀多面体
对偶多面体	小星形五角化十二面体
识别
名称	截角大十二面体
参考索引	U37, C47, W75
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tigid
数学表示法
施莱夫利符号	t0,1{5,5/2}
威佐夫符号; （英语：Wythoff symbol）	2 5/2 \| 5; 2 5/3 \| 5
性质
面	24
边	90
顶点	60
欧拉特征数	F=24, E=90, V=60 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	12个五角星{5/2}; 12个正十边形{10}
面的布局; （英语：Face configuration）	12{5/2}+12{10}
顶点图	10.10.5/2
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
	; 10.10.5/2; （顶点图）
	; 小星形五角化十二面体; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在几何学中，截角大十二面体是一种具有二十面体对称非凸均匀多面体，由24个面组成，其结构可以视为切去大十二面体的12个顶点而得，其具有12对互相平行面，因此也可以视为一种平行多面体，其对偶多面体为小星形五角化十二面体^[1]^[2]。

分类

1993年，兹维·喀拉·埃尔发表的论文《Uniform Solution for Uniform Polyhedra》中，将截角大十二面体编号为K₄₂，表示其为一个二十面体对称的多面体^[3]，同一年，马德尔参考兹维·喀拉·埃尔的分类方式，将截角大十二面体给予索引编号U₃₇^[4]。其也被考克斯特的论文收录，并给予编号C₄₇^[5]。温尼尔也在他的书《多面体模型》中将之给予编号W₇₅^[6]。

性质

截角大十二面体由24个面、90条边和60个顶点组成^[7]，是一种二十四面体。每个顶点都是2个十边形和1个五角星的公共顶点。

面的组成

截角大十二面体由24个面组成，在其二十四个面中，有12个五角星面和12个十边形面，其中有12个面是非凸面。

二面角

截角大十二面体有两种二面角，包括了十边形-十边形二面角和十边形-五角星二面角。其中十边形-十边形二面角为五平方根倒数的反余弦值；十边形-五角星二面角为负的五平方根倒数之反余弦值。^[8]

{\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{10\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 63.434948823^{\circ }

{\text{Angle}}_{\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}=\cos ^{-1}{\frac {-{\sqrt {5}}}{5}}\approx 116.565051177^{\circ }

其中 ${\left\{10\right\},\left\{{^{5}}/{_{2}}\right\}}$ 为十边形和五角星的施莱夫利符号。

顶点座标

边长长度为1单位且几何中心位于原点的截角大十二面体，其顶点座标为^[9]

(\pm {\frac {1}{2}},0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},0)

、

(0,\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {1}{2}})

、

(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}})

、

(\pm {\frac {{\sqrt {5}}\pm 1}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}},\pm {\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}})

。

相关多面体

截角大十二面体的顶点布局与多种多面体相同。其中三种为均匀多面体相同，分别为非凸大斜方截半二十面体、大十二面截半二十面体和大斜方十二面体；还有2种复合多面体，分别是六复合五角柱（英语：Compound of six pentagonal prisms）和二十复合五角柱（英语：Compound of twelve pentagonal prisms）。

非凸大斜方截半二十面体	大十二面截半二十面体	大斜方十二面体
截角大十二面体	六复合五角柱（英语：Compound of six pentagonal prisms）	二十复合五角柱（英语：Compound of twelve pentagonal prisms）

这个多面体是大十二面体经过截角变换后的结果，大十二面体在不同的截角深度也得到有不同的结果，例如节到中点后得到截半大十二面体，过截角后得到的立体则与对偶多面体的截角等价，为截角小星形十二面体。这种多面体外观与正二十面体几乎一样，但其有24个面，12个面是来自截角后的顶点以及12个截角的五角星与之重合。