非凸大斜方截半二十面体
在几何学中，非凸大斜方截半二十面体是一种非凸均匀多面体[5]，由62个面、120条边和60个顶点组成[6]，其索引为U67，对偶多面体为大筝形六十面体[2]，具有二十面体群对称性，[6][7]可以视为大十二面截半二十面体的刻面多面体。[8]在施莱夫利符号中，非凸大斜方截半二十面体可以表示为t0,2{5⁄3,3}或[1]:162[2]，在考克斯特—迪肯符号中可以表示为
，在威佐夫记号中可以表示为3 5⁄3 | 2[3][4][2]。
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| 类别 | 均匀星形多面体 | |||
|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 大筝形六十面体 | |||
| 识别 | ||||
| 名称 | 非凸大斜方截半二十面体 great rhombicosidodecahedron uniform great rhombicosidodecahedron nonconvex great rhombicosidodecahedron quasirhombicosidodecahedron | |||
| 参考索引 | U67, C84, W105 | |||
| 鲍尔斯缩写 | qrid | |||
| 数学表示法 | ||||
| 施莱夫利符号 | t0,2{5⁄3,3} [1]:162[2] | |||
| 威佐夫符号 | 3 5⁄3 | 2[3][4][2] | |||
| 性质 | ||||
| 面 | 62 | |||
| 边 | 120 | |||
| 顶点 | 60 | |||
| 欧拉特征数 | F=62, E=120, V=60 （χ=2） | |||
| 组成与布局 | ||||
| 面的种类 | 20个正三角形 30个正方形 12个正五角星 | |||
| 顶点图 | 3.4.5/3.4 | |||
| 对称性 | ||||
| 对称群 | Ih, [5,3], *532 | |||
| 图像 | ||||
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非凸大斜方截半二十面体与小斜方截半二十面体拓朴同构[8]，其骨架图在拓朴学上是等价的[9]。
这个多面体与凸大斜方截半二十面体同名。
性质 编辑
非凸大斜方截半二十面体共有62个面、120条边和60个顶点。[6]在其62个面中，有20个正三角形、30个正方形和12个正五角星[5]:134[10][11]，在这些面中，共有12个非凸面和12个自相交面[4]。若排除互相相交与自相交面，作为一个简单多面体则其外部面共有980个。[12]
非凸大斜方截半二十面体的欧拉示性数为：
- V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2
因此这个多面体同胚于球体。[10]
其60个顶点每个顶点都是2个正方形、一个五角星和一个正三角形的公共顶点，并依照五角星、正方形、三角形、正方形的顺序在顶点周围来列，并形成了一个交叉四边形，在顶点图中，这样的顶角可以用[5/3,4,3,4]或来表示[8]
二面角 编辑
非凸大斜方截半二十面体有两种二面角，分别为正方形面与三角形面的二面角以及正方形与五角星的二面角。
正方形与五角星的二面角约为58.28度[8]或视为反向相接的301.71747度[13]：
尺寸 编辑
若非凸大斜方截半二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：[14]:1250[2]
分类 编辑
非凸大斜方截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此非凸大斜方截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种[15]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。[16]
 小立方立方八面体 |
 大立方截半立方体 |
 非凸大斜方截半立方体 |
 小十二面截半二十面体 |
 大十二面截半二十面体 |
 小双三角十二面截半二十面体 |
 大双三角十二面截半二十面体 |
 二十面化截半大十二面体 |
 小二十面化截半二十面体 |
 大二十面化截半二十面体 |
 斜方截半大十二面体 |
非凸大斜方截半二十面体 |
相关多面体 编辑
非凸大斜方截半二十面体与截角大十二面体以及6和12复合五角柱共用相同的顶点布局。同时，其亦与大十二面截半二十面体和大斜方十二面体共用相同的边布局。[8]
| 非凸大斜方截半二十面体 |
大十二面截半二十面体 |
 大斜方十二面体 |
 截角大十二面体 |
 六复合五角柱 |
 十二复合五角柱 |
参见 编辑
参考文献 编辑
- ^ 1.0 1.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 3.0 3.1 George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-09-19）.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Vladimir Bulatov. great rhombicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-02-28）.
- ^ 5.0 5.1 Gorini, C.A. The Facts on File Geometry Handbook. Facts on File science library. Facts On File, Incorporated. 2003 [2022-07-27]. ISBN 9781438109572. （原始内容存档于2022-07-27）.
- ^ 6.0 6.1 6.2 Maeder, Roman. 67: great rhombicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. （原始内容存档于2020-02-17）.
- ^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #72. harel.org.il. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-10-22）.
- ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Richard Klitzing. qrid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-09-21）.
- ^ B. D. S. “DON” MCCONNELL. Spectral Realizations of Graphs (PDF). daylateanddollarshort.com. [2022-07-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-06）.
- ^ 10.0 10.1 David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. wmich.edu. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-10-18）.
- ^ Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
- ^ Robert Webb. Great Rhombicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-08-22）.
- ^ 13.0 13.1 David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicosidodecahedron. [2022-07-27]. （原始内容存档于2018-05-04）.
- ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002. ISBN 9781420035223.[失效链接]
- ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-31]. （原始内容存档于2022-08-22）.
- ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.