非凸大斜方截半二十面体

几何学中,非凸大斜方截半二十面体是一种非凸均匀多面体[5],由62个面、120条边和60个顶点组成[6],其索引为U67对偶多面体大筝形六十面体英语Great deltoidal hexecontahedron[2],具有二十面体群对称性英语Icosahedral symmetry[6][7]可以视为大十二面截半二十面体刻面英语Faceting多面体。[8]施莱夫利符号中,非凸大斜方截半二十面体可以表示为t0,2{53,3}[1]:162[2],在考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以表示为node_1 5 rat d3 node 3 node_1 ,在威佐夫记号中可以表示为3 53 | 2[3][4][2]

非凸大斜方截半二十面体
非凸大斜方截半二十面体
类别均匀星形多面体
对偶多面体大筝形六十面体英语Great deltoidal hexecontahedron
识别
名称非凸大斜方截半二十面体
great rhombicosidodecahedron
uniform great rhombicosidodecahedron
nonconvex great rhombicosidodecahedron
quasirhombicosidodecahedron
参考索引U67, C84, W105
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
qrid
数学表示法
施莱夫利符号t0,2{53,3}
[1]:162[2]
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
3 53 | 2[3][4][2]
性质
62
120
顶点60
欧拉特征数F=62, E=120, V=60 (χ=2)
组成与布局
面的种类20个正三角形
30个正方形
12个正五角星
顶点图3.4.5/3.4
对称性
对称群Ih, [5,3], *532
图像
立体图
3.4.5/3.4
顶点图

大筝形六十面体英语Great deltoidal hexecontahedron
对偶多面体

非凸大斜方截半二十面体与小斜方截半二十面体拓朴同构[8],其骨架图在拓朴学上是等价的[9]

这个多面体与凸大斜方截半二十面体同名。

性质

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非凸大斜方截半二十面体共有62个、120条和60个顶点[6]在其62个面中,有20个正三角形、30个正方形和12个正五角星[5]:134[10][11],在这些面中,共有12个非凸面和12个自相交面[4]。若排除互相相交与自相交面,作为一个简单多面体则其外部面共有980个。[12]

非凸大斜方截半二十面体的欧拉示性数为:

V-E+F = 60 - 120 + (20+12+30) = 2

因此这个多面体同胚于球体。[10]

其60个顶点每个顶点都是2个正方形、一个五角星和一个正三角形的公共顶点,并依照五角星、正方形、三角形、正方形的顺序在顶点周围来列,并形成了一个交叉四边形,在顶点图中,这样的顶角可以用[5/3,4,3,4]或来表示[8]

二面角

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非凸大斜方截半二十面体有两种二面角,分别为正方形面与三角形面的二面角以及正方形与五角星的二面角。

正方形与三角形的二面角约为69[13]

 

正方形与五角星的二面角约为58.28度[8]或视为反向相接的301.71747度[13]

 

尺寸

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若非凸大斜方截半二十面体的边长为单位长,则其外接球半径为:[14]:1250[2]

 

分类

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非凸大斜方截半二十面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性,同时,其存在自相交的面,因此非凸大斜方截半二十面体是一种自相交拟拟正多面体(Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra)。自相交拟拟正多面体一共有12种[15],除了小双三角十二面截半二十面体外,其余由阿尔伯特·巴杜罗(Albert Badoureau)于1881年发现并描述。[16]

自相交拟拟正多面体
(Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra)
 
小立方立方八面体
 
大立方截半立方体
 
非凸大斜方截半立方体
 
小十二面截半二十面体
 
大十二面截半二十面体
 
小双三角十二面截半二十面体
 
大双三角十二面截半二十面体
 
二十面化截半大十二面体
 
小二十面化截半二十面体
 
大二十面化截半二十面体
 
斜方截半大十二面体
 
非凸大斜方截半二十面体

相关多面体

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非凸大斜方截半二十面体与截角大十二面体以及6英语Compound_of_six_pentagonal_prisms12复合五角柱英语Compound_of_twelve_pentagonal_prisms共用相同的顶点布局。同时,其亦与大十二面截半二十面体大斜方十二面体共用相同的边布局。[8]

 
非凸大斜方截半二十面体
 
大十二面截半二十面体
 
大斜方十二面体
 
截角大十二面体
 
六复合五角柱英语Compound_of_six_pentagonal_prisms
 
十二复合五角柱英语Compound_of_twelve_pentagonal_prisms

参见

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始内容存档于2021-08-31). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Weisstein, Eric W. (编). Uniform Great Rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-27]. (原始内容存档于2018-09-19). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Vladimir Bulatov. great rhombicosidodecahedron. Polyhedra Collection. [2022-07-27]. (原始内容存档于2021-02-28). 
  5. ^ 5.0 5.1 Gorini, C.A. The Facts on File Geometry Handbook. Facts on File science library. Facts On File, Incorporated. 2003 [2022-07-27]. ISBN 9781438109572. (原始内容存档于2022-07-27). 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Maeder, Roman. 67: great rhombicosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-27]. (原始内容存档于2020-02-17). 
  7. ^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #72. harel.org.il. [2022-07-27]. (原始内容存档于2021-10-22). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 Richard Klitzing. qrid, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-07-27]. (原始内容存档于2021-09-21). 
  9. ^ B. D. S. “DON” MCCONNELL. Spectral Realizations of Graphs (PDF). daylateanddollarshort.com. [2022-07-27]. (原始内容 (PDF)存档于2022-04-06). 
  10. ^ 10.0 10.1 David A. Richter. Great Dirhombicosidodecahedron. wmich.edu. [2022-07-27]. (原始内容存档于2018-10-18). 
  11. ^ Polyhedron Category 4: Trapeziverts. polytope.net. (原始内容存档于2021-10-19). 
  12. ^ Robert Webb. Great Rhombicosidodecahedron. software3d.com. [2022-07-30]. (原始内容存档于2022-08-22). 
  13. ^ 13.0 13.1 David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Uniform Great Rhombicosidodecahedron. [2022-07-27]. (原始内容存档于2018-05-04). 
  14. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002. ISBN 9781420035223. [失效链接]
  15. ^ David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-31]. (原始内容存档于2022-08-22). 
  16. ^ Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.