扭棱大星形十二面体

扭棱大星形十二面体是一种星形均匀多面体，为大星形十二面体经过扭棱变换后的像，由80个正三角形和12个正五角星组成，索引为U₅₇，对偶多面体为大五角六十面体，具有二十面体群对称性。

扭棱大星形十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大五角六十面体
识别
名称	扭棱大星形十二面体 great snub icosidodecahedron
参考索引	U57, C88, W113
鲍尔斯缩写	gosid
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	sr{5⁄2,3}
威佐夫符号	| 2 5/2 3
性质
面	92
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	(20+60)个正三角形 12个正五角星
顶点图	3.3.3.3.5⁄2
对称性
对称群	Ih, [5,3]+, 532
图像
3.3.3.3.5⁄2 （顶点图） 大五角六十面体 （对偶多面体）

性质

扭棱大星形十二面体共由92个面、150条边和60个顶点组成。在其92个面中有80个正三角形面和12个五角星面，这80个三角形面中有60个来自扭棱变换。在其60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/2.3.3.3.3)来表示。

表示法

扭棱大星形十二面体在考克斯特—迪肯符号中可以表示为，在施莱夫利符号中可以表示为sr{⁵⁄₂,3}，在威佐夫记号中可以表示为| 2 5/2 3。

尺寸

若扭棱大星形十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为：

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.64502\dots$

其中$x$是$x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}$的实根。 以$R^{2}$为变量的六次方程

$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$

共有4个实根，分别是扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体、反扭棱大星形十二面体和大反屈扭棱截半二十面体的外接球半径。

顶点座标

扭棱大星形十二面体的顶点座标为下列座标的偶置换：

$\left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)$、

$\left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)$、

$\left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)$、

$\left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)$和

$\left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)$，

带有偶数个正号，其中

$\alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}$

且

$\beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}$

其中$\tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$为黄金比例、 $\xi$是方程式$\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}$的负实根，约为−1.5488772。 若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话，则会得到扭棱大星形十二面体的另一种形式，即另一种形式的手性对映体。

参见

• 均匀多面体列表
• 反扭棱大星形十二面体