曼哈顿距离

计程车几何（Taxicab geometry）或曼哈顿距离（英语：Manhattan distance/Manhattan length）或方格线距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创辞汇，为欧几里得几何度量空间的几何学之用语，用以标明两个点上在标准坐标系上的绝对轴距之总和。

曼哈顿与欧几里得距离： 红、蓝与黄线分别表示所有曼哈顿距离都拥有一样长度（12），而绿线表示欧几里得距离有6×√2 ≈ 8.48的长度。

曼哈顿距离

我们可以定义曼哈顿距离的正式意义为L₁-距离或城市区块距离，也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。

例如在平面上，坐标（x₁, y₁）的点P₁与坐标（x₂, y₂）的点P₂的曼哈顿距离为：

$d(x,y)=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|.$

要注意的是，曼哈顿距离依赖坐标系统的旋转，而非系统在座标轴上的平移或映射。

曼哈顿距离的命名原因是从规划为方型建筑区块的城市（如曼哈顿）间，最短的行车路径而来（忽略曼哈顿的单向车道以及只存在于3、14大道的斜向车道）。任何往东三区块、往北六区块的的路径一定最少要走九区块，没有其他捷径。

计程车几何学满足除了SAS全等定理之外的希尔伯特几何公理。

在计程车几何学中，一个圆是由从圆心向各个固定曼哈顿距离标示出来的点围成的区域，因此这种圆其实就是旋转了45度的正方形。如果有一群圆，且任两圆皆相交，则整群圆必在某点相交；因此曼哈顿距离会形成一个超凸度量空间。对一个半径为r 的圆来说，这个正方形的圆每边长√2r。此'"圆"的半径r对切比雪夫距离（L_∞空间）的二维平面来说，也是一个对座标轴来说边长为2r的正方形，因此二维切比雪夫距离可视为等同于旋转且放大过的二维曼哈顿距离。然而这种介于L₁与L_∞的相等关系并不能延伸到更高的维度。

在棋盘上的距离计量

在国际象棋里，车（城堡）是以曼哈顿距离来计算棋盘格上的距离；而王（国王）与后（皇后）使用切比雪夫距离，象（主教）则是用转了45度的曼哈顿距离来算（在同色的格子上），也就是说它以斜线为行走路径。只有国王需要一步一步走的方式移动，皇后、主教与城堡可以在一或两次移动走到任何一格（在没有阻碍物的情况下，且主教忽略它不能走到的另一类颜色）。

参见

• 距离
• 切比雪夫距离
• 赋范向量空间
• 度量
• 正交凸包
• 汉明距离

参考资料

• Eugene F. Krause. Taxicab Geometry. Dover. 1987. ISBN 978-0-486-25202-5. 

外部链接

• City Block Distance （页面存档备份，存于互联网档案馆），by Kardi Teknomo
• city-block metric （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath
• 埃里克·韦斯坦因. Taxicab Metric. MathWorld. 
• Manhattan distance （页面存档备份，存于互联网档案馆）。Paul E. Black, Dictionary of Algorithms and Data Structures （页面存档备份，存于互联网档案馆），NIST