有界輸入有界輸出穩定性

訊號處理控制理論中,有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性,是一種針對有輸入訊號線性系統穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」(Bounded-Input Bounded-Output)的簡稱,若系統有BIBO穩定性,則針對每一個有界的輸入,系統的輸出也都會有界,不會發散到無限大。

對於訊號若存在有限的定值使得訊號的振幅不會超過,則此訊號為有界的,也就是說

針對離散訊號,或
針對連續訊號

線性非時變系統時域分析下的條件

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連續系統的充份及必要條件

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針對連續時間的線性非時變(LTI)系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數

 

離散系統的充份條件

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針對離散時間的線性非時變系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數

 

充份條件的證明

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假設離散時間的線性非時變系統,其脈衝響應 和輸入 和輸出 之間會有以下的關係:

 

其中 卷積 則依卷積的定義:

 

  的最大值

 
 (根據三角不等式
 
 
 

 是絕對可求和,則 

 

因此若 是絕對可求和,且 有界,則因為  也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性非時變系統頻域分析下的條件

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連續時間訊號

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對於一個有理的連續時間系統,穩定性的條件是拉普拉斯轉換收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統,其收斂區域為「最大極點」(實部為最大值的極點)實部垂直線往右的開集,定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標英語abscissa of convergence。因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面(不能在虛軸上)。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下:

 
 
 
 
 

其中 ,且 .

因此收斂區域必須包括虛軸。

離散時間訊號

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對於一個有理離散時間系統,穩定性的條件是Z轉換收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統,其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集,因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內(不能在單位圓上)。

可以用類似的方式推導穩定性準則:

 
 
 
 

其中 ,且 

因此收斂區域必須包括單位圓

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延伸閱讀

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