像很多积分变换 一样，Z变换可以有单边和双边定义。
双边Z变换
编辑
双边 Z变换把离散时域信号
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
形式幂级数
X
(
z
)
{\displaystyle X(z)}
X
(
z
)
=
Z
{
x
[
n
]
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
z
−
n
{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}
当中
n
{\displaystyle n}
z
{\displaystyle z}
z
=
A
e
j
ϕ
=
A
(
cos
ϕ
+
j
sin
ϕ
)
{\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,}
其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位 ，而 ɸ 为辐角 相位角 ），用弧度 表示。
单边Z变换
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另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n] ，单边 Z变换定义为
X
(
z
)
=
Z
{
x
[
n
]
}
=
∑
n
=
0
∞
x
[
n
]
z
−
n
.
{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}
在信号处理 中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统 的单位冲激响应 。
单边Z变换的一个重要例子是概率母函数 ，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s) ，用 s = z −1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。
地球物理学定义
编辑
地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z −1 的。例如，Enders Anthony Robinson [7] Ernest R. Kanasewich [8]
X
(
z
)
=
Z
{
x
[
n
]
}
=
∑
n
x
[
n
]
z
n
.
{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.}
这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点 的位置移动在单位圆 内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。[7] [8]
逆Z变换
编辑
逆 Z变换为
x
[
n
]
=
Z
−
1
{
X
(
z
)
}
=
1
2
π
j
∮
C
X
(
z
)
z
n
−
1
d
z
{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}
其中 C 是完全处于收敛域 （ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2 ），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。
这个曲线积分 的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换 ：
x
[
n
]
=
1
2
π
∫
−
π
+
π
X
(
e
j
ω
)
e
j
ω
n
d
ω
.
{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}
有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法 方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换 （DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。
收敛域 （ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。
R
O
C
=
{
z
:
|
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
z
−
n
|
<
∞
}
{\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}
例1（收敛域不存在）
编辑
令
x
[
n
]
=
(
0.5
)
n
{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
[
n
]
=
{
⋯
,
0.5
−
3
,
0.5
−
2
,
0.5
−
1
,
1
,
0.5
,
0.5
2
,
0.5
3
,
⋯
}
=
{
⋯
,
2
3
,
2
2
,
2
,
1
,
0.5
,
0.5
2
,
0.5
3
,
⋯
}
.
{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}
观察上面的和
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
z
−
n
→
∞
.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}
因此，没有一个
z
{\displaystyle z}
例2（因果的收敛域）
编辑
ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |z | = 0.5 这个圆用虚线圆表示（内圈者） 令
x
[
n
]
=
0.5
n
u
[
n
]
{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }
u 是单位阶跃函数 ）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到
x
[
n
]
=
{
⋯
,
0
,
0
,
0
,
1
,
0.5
,
0.5
2
,
0.5
3
,
⋯
}
.
{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}
观察这个和
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
z
−
n
=
∑
n
=
0
∞
0.5
n
z
−
n
=
∑
n
=
0
∞
(
0.5
z
)
n
=
1
1
−
0.5
z
−
1
.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}
最后一个等式来自无穷几何级数 ，而等式仅在 |0.5z −1 | < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z | > 0.5。因此，收敛域为 |z | > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。
例3（非因果的收敛域）
编辑
ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |z | = 0.5 这个圆用虚线圆表示 令
x
[
n
]
=
−
(
0.5
)
n
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }
u 是单位阶跃函数 ）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到
x
[
n
]
=
{
⋯
,
−
(
0.5
)
−
3
,
−
(
0.5
)
−
2
,
−
(
0.5
)
−
1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
⋯
}
.
{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}
观察这个和
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
z
−
n
=
−
∑
n
=
−
∞
−
1
0.5
n
z
−
n
=
−
∑
m
=
1
∞
(
z
0.5
)
m
=
1
−
1
1
−
0.5
−
1
z
=
1
1
−
0.5
z
−
1
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}
再次使用无穷几何级数 ，此等式只在 |0.5−1 z | < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z | < 0.5。因此，收敛域为 |z | < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。
本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。
实例结论
编辑
实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图 永远不会 包含极点。
在例2中，因果系统产生一个包含 |z | = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含
|
z
|
=
0
{\displaystyle |z|=0}
ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z | < 0.75 在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z | = ∞ 也不包含 |z | = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，
x
[
n
]
=
0.5
n
u
[
n
]
−
0.75
n
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}
的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z | < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)n u [n ] 和一个非因果项 −(0.75)n u [−n −1]。
一个系统的稳定性 可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z | = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z | > 0.5 包含单位圆。
如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
通过这种方法可以找到唯一的
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
Z变换性质
时域
Z域
证明
收敛域
记法
x
[
n
]
=
Z
−
1
{
X
(
z
)
}
{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}
X
(
z
)
=
Z
{
x
[
n
]
}
{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}
r
2
<
|
z
|
<
r
1
{\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}
线性
a
1
x
1
[
n
]
+
a
2
x
2
[
n
]
{\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}
a
1
X
1
(
z
)
+
a
2
X
2
(
z
)
{\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}
X
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
1
x
1
(
n
)
+
a
2
x
2
(
n
)
)
z
−
n
=
a
1
∑
n
=
−
∞
∞
x
1
(
n
)
z
−
n
+
a
2
∑
n
=
−
∞
∞
x
2
(
n
)
z
−
n
=
a
1
X
1
(
z
)
+
a
2
X
2
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}
包含 ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀
x
K
[
n
]
=
{
x
[
r
]
,
n
=
r
K
0
,
n
≠
r
K
{\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}}
r : 整数
X
(
z
K
)
{\displaystyle X(z^{K})}
X
K
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
K
(
n
)
z
−
n
=
∑
r
=
−
∞
∞
x
(
r
)
z
−
r
K
=
∑
r
=
−
∞
∞
x
(
r
)
(
z
K
)
−
r
=
X
(
z
K
)
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}
R
1
K
{\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}
降采样
x
[
n
K
]
{\displaystyle x[nK]}
1
K
∑
p
=
0
K
−
1
X
(
z
1
K
⋅
e
−
i
2
π
K
p
)
{\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}
ohio-state.edu （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） 或 ee.ic.ac.uk （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
时移
x
[
n
−
k
]
{\displaystyle x[n-k]}
z
−
k
X
(
z
)
{\displaystyle z^{-k}X(z)}
Z
{
x
[
n
−
k
]
}
=
∑
n
=
0
∞
x
[
n
−
k
]
z
−
n
=
∑
j
=
−
k
∞
x
[
j
]
z
−
(
j
+
k
)
j
=
n
−
k
=
∑
j
=
−
k
∞
x
[
j
]
z
−
j
z
−
k
=
z
−
k
∑
j
=
−
k
∞
x
[
j
]
z
−
j
=
z
−
k
∑
j
=
0
∞
x
[
j
]
z
−
j
x
[
β
]
=
0
,
β
<
0
=
z
−
k
X
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}
ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞
Z域的
尺度性质
a
n
x
[
n
]
{\displaystyle a^{n}x[n]}
X
(
a
−
1
z
)
{\displaystyle X(a^{-1}z)}
Z
{
a
n
x
[
n
]
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
x
(
n
)
z
−
n
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
n
)
(
a
−
1
z
)
−
n
=
X
(
a
−
1
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}
|
a
|
r
2
<
|
z
|
<
|
a
|
r
1
{\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}
时间反转
x
[
−
n
]
{\displaystyle x[-n]}
X
(
z
−
1
)
{\displaystyle X(z^{-1})}
Z
{
x
(
−
n
)
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
−
n
)
z
−
n
=
∑
m
=
−
∞
∞
x
(
m
)
z
m
=
∑
m
=
−
∞
∞
x
(
m
)
(
z
−
1
)
−
m
=
X
(
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}
1
r
1
<
|
z
|
<
1
r
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}
共轭复数
x
∗
[
n
]
{\displaystyle x^{*}[n]}
X
∗
(
z
∗
)
{\displaystyle X^{*}(z^{*})}
Z
{
x
∗
(
n
)
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
∗
(
n
)
z
−
n
=
∑
n
=
−
∞
∞
[
x
(
n
)
(
z
∗
)
−
n
]
∗
=
[
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
n
)
(
z
∗
)
−
n
]
∗
=
X
∗
(
z
∗
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}
实部
Re
{
x
[
n
]
}
{\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}
1
2
[
X
(
z
)
+
X
∗
(
z
∗
)
]
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}
虚部
Im
{
x
[
n
]
}
{\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}
1
2
j
[
X
(
z
)
−
X
∗
(
z
∗
)
]
{\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}
微分
n
x
[
n
]
{\displaystyle nx[n]}
−
z
d
X
(
z
)
d
z
{\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}
Z
{
n
x
(
n
)
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
n
x
(
n
)
z
−
n
=
z
∑
n
=
−
∞
∞
n
x
(
n
)
z
−
n
−
1
=
−
z
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
n
)
(
−
n
z
−
n
−
1
)
=
−
z
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
n
)
d
d
z
(
z
−
n
)
=
−
z
d
X
(
z
)
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}
卷积
x
1
[
n
]
∗
x
2
[
n
]
{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}
X
1
(
z
)
X
2
(
z
)
{\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}
Z
{
x
1
(
n
)
∗
x
2
(
n
)
}
=
Z
{
∑
l
=
−
∞
∞
x
1
(
l
)
x
2
(
n
−
l
)
}
=
∑
n
=
−
∞
∞
[
∑
l
=
−
∞
∞
x
1
(
l
)
x
2
(
n
−
l
)
]
z
−
n
=
∑
l
=
−
∞
∞
x
1
(
l
)
[
∑
n
=
−
∞
∞
x
2
(
n
−
l
)
z
−
n
]
=
[
∑
l
=
−
∞
∞
x
1
(
l
)
z
−
l
]
[
∑
n
=
−
∞
∞
x
2
(
n
)
z
−
n
]
=
X
1
(
z
)
X
2
(
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}
包含 ROC1 ∩ ROC2
互相关
r
x
1
,
x
2
=
x
1
∗
[
−
n
]
∗
x
2
[
n
]
{\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}
R
x
1
,
x
2
(
z
)
=
X
1
∗
(
1
z
∗
)
X
2
(
z
)
{\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}
包含
X
1
(
1
z
∗
)
{\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}
X
2
(
z
)
{\displaystyle X_{2}(z)}
一阶差分
x
[
n
]
−
x
[
n
−
1
]
{\displaystyle x[n]-x[n-1]}
(
1
−
z
−
1
)
X
(
z
)
{\displaystyle (1-z^{-1})X(z)}
包含 X1 (z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集
累积
∑
k
=
−
∞
n
x
[
k
]
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}
1
1
−
z
−
1
X
(
z
)
{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}
∑
n
=
−
∞
∞
∑
k
=
−
∞
n
x
[
k
]
z
−
n
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
x
[
n
]
+
⋯
+
x
[
−
∞
]
)
z
−
n
=
X
[
z
]
(
1
+
z
−
1
+
z
−
2
+
⋯
)
=
X
[
z
]
∑
j
=
0
∞
z
−
j
=
X
[
z
]
1
1
−
z
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}
乘法
x
1
[
n
]
x
2
[
n
]
{\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}
1
j
2
π
∮
C
X
1
(
v
)
X
2
(
z
v
)
v
−
1
d
v
{\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}
-
帕塞瓦尔定理
∑
n
=
−
∞
∞
x
1
[
n
]
x
2
∗
[
n
]
=
1
j
2
π
∮
C
X
1
(
v
)
X
2
∗
(
1
v
∗
)
v
−
1
d
v
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}
初值定理 x [n ] 为因果的，那么
x
[
0
]
=
lim
z
→
∞
X
(
z
)
.
{\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}
终值定理 z −1)X (z ) 的极点在单位圆内，则
x
[
∞
]
=
lim
z
→
1
(
z
−
1
)
X
(
z
)
.
{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}
常见的Z变换对表
编辑
这里：
u
:
n
↦
u
[
n
]
=
{
1
,
n
≥
0
0
,
n
<
0
{\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}
是单位阶跃函数 而
δ
:
n
↦
δ
[
n
]
=
{
1
,
n
=
0
0
,
n
≠
0
{\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}
是离散时间单位冲激函数 。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分 ，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。
信号，
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
Z变换，
X
(
z
)
{\displaystyle X(z)}
ROC
1
δ
[
n
]
{\displaystyle \delta [n]}
1
所有 z
2
δ
[
n
−
n
0
]
{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}
z
−
n
0
{\displaystyle z^{-n_{0}}}
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
3
u
[
n
]
{\displaystyle u[n]\,}
1
1
−
z
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
4
e
−
α
n
u
[
n
]
{\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]}
1
1
−
e
−
α
z
−
1
{\displaystyle 1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}}
|
z
|
>
e
−
α
{\displaystyle |z|>e^{-\alpha }\,}
5
−
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -u[-n-1]}
1
1
−
z
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
6
n
u
[
n
]
{\displaystyle nu[n]}
z
−
1
(
1
−
z
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
7
−
n
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -nu[-n-1]\,}
z
−
1
(
1
−
z
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
8
n
2
u
[
n
]
{\displaystyle n^{2}u[n]}
z
−
1
(
1
+
z
−
1
)
(
1
−
z
−
1
)
3
{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1\,}
9
−
n
2
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}
z
−
1
(
1
+
z
−
1
)
(
1
−
z
−
1
)
3
{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1\,}
10
n
3
u
[
n
]
{\displaystyle n^{3}u[n]}
z
−
1
(
1
+
4
z
−
1
+
z
−
2
)
(
1
−
z
−
1
)
4
{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1\,}
11
−
n
3
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}
z
−
1
(
1
+
4
z
−
1
+
z
−
2
)
(
1
−
z
−
1
)
4
{\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1\,}
12
a
n
u
[
n
]
{\displaystyle a^{n}u[n]}
1
1
−
a
z
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}
|
z
|
>
|
a
|
{\displaystyle |z|>|a|}
13
−
a
n
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}
1
1
−
a
z
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}
|
z
|
<
|
a
|
{\displaystyle |z|<|a|}
14
n
a
n
u
[
n
]
{\displaystyle na^{n}u[n]}
a
z
−
1
(
1
−
a
z
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}
|
z
|
>
|
a
|
{\displaystyle |z|>|a|}
15
−
n
a
n
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}
a
z
−
1
(
1
−
a
z
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}
|
z
|
<
|
a
|
{\displaystyle |z|<|a|}
16
n
2
a
n
u
[
n
]
{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}
a
z
−
1
(
1
+
a
z
−
1
)
(
1
−
a
z
−
1
)
3
{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}
|
z
|
>
|
a
|
{\displaystyle |z|>|a|}
17
−
n
2
a
n
u
[
−
n
−
1
]
{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}
a
z
−
1
(
1
+
a
z
−
1
)
(
1
−
a
z
−
1
)
3
{\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}
|
z
|
<
|
a
|
{\displaystyle |z|<|a|}
18
cos
(
ω
0
n
)
u
[
n
]
{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}
1
−
z
−
1
cos
(
ω
0
)
1
−
2
z
−
1
cos
(
ω
0
)
+
z
−
2
{\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
19
sin
(
ω
0
n
)
u
[
n
]
{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}
z
−
1
sin
(
ω
0
)
1
−
2
z
−
1
cos
(
ω
0
)
+
z
−
2
{\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
20
a
n
cos
(
ω
0
n
)
u
[
n
]
{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}
1
−
a
z
−
1
cos
(
ω
0
)
1
−
2
a
z
−
1
cos
(
ω
0
)
+
a
2
z
−
2
{\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}
|
z
|
>
|
a
|
{\displaystyle |z|>|a|}
21
a
n
sin
(
ω
0
n
)
u
[
n
]
{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}
a
z
−
1
sin
(
ω
0
)
1
−
2
a
z
−
1
cos
(
ω
0
)
+
a
2
z
−
2
{\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}
|
z
|
>
|
a
|
{\displaystyle |z|>|a|}
与傅里叶级数和傅里叶变换的关系
编辑
对于区域 |z|=1（称为单位圆 ）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数 ：
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
z
−
n
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
e
−
j
ω
n
,
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}
也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换 （DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换 的周期性求和
∑
n
=
−
∞
∞
x
(
n
T
)
⏞
x
[
n
]
e
−
j
2
π
f
n
T
⏟
DTFT
=
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
X
(
f
−
k
/
T
)
.
{\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}
若T的单位是秒，
f
{\displaystyle \textstyle f}
赫兹 。比较两个数列可得
ω
=
2
π
f
T
{\displaystyle \textstyle \omega =2\pi fT}
标准化频率
f
=
1
T
{\displaystyle \textstyle f={\frac {1}{T}}}
f
=
ω
2
π
T
,
{\displaystyle \textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},}
Eq.1 :
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
e
−
j
ω
n
=
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
X
(
ω
2
π
T
−
k
T
)
⏟
X
(
ω
−
2
π
k
2
π
T
)
.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}
若数列x(nT)表示线性时不变系统 的冲激响应 ，这些函数也称为频率响应 ，当x(nT)是周期性数列，其DTFT 在一或多个共振频率发散，在其他频率均为零。这一般会用在共振频率，振幅可变的狄拉克δ函数 表示。因为其周期性，只会有有限个振幅，可以用较简单许多的离散傅里叶变换 来计算。（参照离散傅里叶变换#周期性 ）
和拉氏变换的关系
编辑
双线性变换
编辑
双线性变换 可以用在连续时间滤波器（用拉氏域表示）和离散时间滤波器（用Z域表示）之间的变换，其变换关系如下：
s
=
2
T
(
z
−
1
)
(
z
+
1
)
{\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}
将一个拉氏域的函数
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
H
(
z
)
{\displaystyle H(z)}
z
=
2
+
s
T
2
−
s
T
{\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}}
从Z域变换到拉氏域。借由双线性变换，复数的s平面（拉氏变换）可以映射到复数的z平面（Z变换）。这个变换是非线性的，可以将S平面的整个j Ω轴映射到Z平面的单位圆 内。因此，傅里叶变换（在j Ω axis计算的拉氏变换）变成离散时间傅里叶变换，前提是假设其傅里叶变换存在，也就是拉氏变换的收敛区域包括j Ω轴。
线性常系数差分方程
编辑
线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均 的线性系统表达形式。
∑
p
=
0
N
y
[
n
−
p
]
α
p
=
∑
q
=
0
M
x
[
n
−
q
]
β
q
{\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}
上面等式两边可以同时除以 α0 ，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成
y
[
n
]
=
∑
q
=
0
M
x
[
n
−
q
]
β
q
−
∑
p
=
1
N
y
[
n
−
p
]
α
p
.
{\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}
LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p] 、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。
传递函数
编辑
对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到
Y
(
z
)
∑
p
=
0
N
z
−
p
α
p
=
X
(
z
)
∑
q
=
0
M
z
−
q
β
q
{\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}
整理结果
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
∑
q
=
0
M
z
−
q
β
q
∑
p
=
0
N
z
−
p
α
p
=
β
0
+
z
−
1
β
1
+
z
−
2
β
2
+
⋯
+
z
−
M
β
M
α
0
+
z
−
1
α
1
+
z
−
2
α
2
+
⋯
+
z
−
N
α
N
.
{\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}
零点和极点
编辑
由代数基本定理 得知分子 有 M 个根 （对应于 H 的零点 ）和分母 有 N 个根（对应于极点 ）。用极点和零点重新整理传递函数 为
H
(
z
)
=
(
1
−
q
1
z
−
1
)
(
1
−
q
2
z
−
1
)
⋯
(
1
−
q
M
z
−
1
)
(
1
−
p
1
z
−
1
)
(
1
−
p
2
z
−
1
)
⋯
(
1
−
p
N
z
−
1
)
{\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}}
其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图
此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的话，零点和极点的数目总会相等。
通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解 可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应 和线性常系数差分方程。
输出响应
编辑
如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z) 。通过对 Y(z) 部分分式分解 并取逆Z变换可以得到输出 y[n] 。在实际运用中，在分式分解
Y
(
z
)
z
{\displaystyle {\frac {Y(z)}{z}}}
z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。
参考文献
编辑
延伸阅读
编辑
Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1 .
Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2 .
Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7 . 外部链接
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![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f6e27003f8c3271124b8af3ea0092c2906ae3e)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e560ddcffcbab6fa176f4d2dd8e3fe60905b55)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af64bf848f2f92b8aab0469ae4c87827d8092916)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872e380a9d155a1ee7a3cb5e2ee0e4f033927995)
![{\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957cad6f61b3feec604ba454617acaea7beae9be)
![{\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad42c66ac900377f174a50adb30ad596be17f9a)
![{\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c408d5a661d79f93d560c3eacffbdd046f739269)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0a16581c6c01c2dbd61d6e345d0c1daf45a4ef)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c1521fe62d231dfb0fae8a8583d4fad0882b0)
![{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce739a4e3801e9ac23c8bcc5c405219add4638b0)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7beddbdd74691d956130f78850030ad4d8877e)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcec1d978fd88c533b13fc81a3a7b1dcb784bba)
![{\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bed96a543b90d76dc434ec8499eaf435362d6b)
![{\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf2b69a4dafb9fc491500100fe2de6c44bfcf08)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57fe1a23dddbf87776696e5e0073d09629cead3)
![{\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a35aa48e0a80015443d04e9c2af649eb8979eab)
![{\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e642979d4bbea30a164bd3c3c0478dd4f42c2d)
![{\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aefa942e18926dd24f0a75ca1f495002704e35f)
![{\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97ce6ff93cf3ccb0258ad080057561fe1defb16)
![{\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rK\\0,&n\not =rK\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c7af54b32399d8830007c0775bd09b9474fe9b)
![{\displaystyle x[nK]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a010d8a7bcfb8e917ed26c8d11ffd94640a049)
![{\displaystyle x[n-k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd4fa5b96ade59fee1aa33657f28a6ed743fee0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d295516d056488d044f4f7b79ad32c636e864c49)
![{\displaystyle a^{n}x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6e6317bd81d87cfd18bb11f24d33e311654f66)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f8477f13051fac644aa7c6b4d06995580f049f)
![{\displaystyle x[-n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2958bd31d147e297b9544bac8ecb293bc64c54e2)
![{\displaystyle x^{*}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebfe6cd83983535242e2e7090ec8afd92fda490)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a171fcc40b4257e1567ce9b1381ff4f0dfcac)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e937c065ea014ea1a800b7d65e8598dd53b04fe)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52189e67c3e7a9197f1fef536da483dd8298f088)
![{\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448ba3d404961701358a86f290f7ed4c584331b1)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93477d1ad565aba61bd29e4fb3e6a036797a5036)
![{\displaystyle nx[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adf25e4ef78078f099b667b5ae491f9de3d61ff)
![{\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c729fc738effd3f2e021a0aafd5b601e5636866e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3985e381c0872301ffe55acf809d1a3f73142d0d)
![{\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c75f9bd7c335ef723987776fe4b720fdd74ce7)
![{\displaystyle x[n]-x[n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2294625d3fa83bdd70d50e99c19cc0ad4f103ac7)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d6540c00220987b9e9b320d050bcbba37c4b4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3be12bdb3e4c8f0f0f7c7361b8289f9c62cb56)
![{\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6743e17b24b69f8e3967724f056c04b779ee3e)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff45b737972bd6dc88fc06588ae6e08910d74e8b)
![{\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815494d8476445adef605f74b5b5a6765fb203c4)
![{\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1462160ef0f0d8de8000f78372f2a1b21c2a6031)
![{\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c15373dbd58410ab17d3c2c7ebe2123e276298)
![{\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c07b1365b8d2566271e4752535678f92aedafa)
![{\displaystyle \delta [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a6caf535cb44fa3526b2f320330a805edfdfaa)
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdb0265027e056f16fce87ab282b57cb03c4f8c)
![{\displaystyle u[n]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e693a2911b29e6c8d440d97e46d27760559af7c5)
![{\displaystyle e^{-\alpha n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074d2265c2c901f6c15c3fbcbbf54d3a420d2eb)
![{\displaystyle -u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dd7dba0f892e5bcad792136d96cd5f5548a327)
![{\displaystyle nu[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a28e84b105a96db578fb6e6b047465468b77ec)
![{\displaystyle -nu[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c7bfd00539cf805ba91e15a60b73576194dbd1)
![{\displaystyle n^{2}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea874c2bd6b83f29b93caf0cbe50ee9131eaebc2)
![{\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc9d247970a92c7c6a69da9b5a272190dadcd24)
![{\displaystyle n^{3}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e2a53a00fc122eed75716c0c58cf9e58a0f38d)
![{\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd111768ef860fc18a2c93e5dc2fb4b03dfab8c)
![{\displaystyle a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef62e50254aa3175939a01611766c01f9bf7b39)
![{\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4718b1c4477718ebeb49ac1fc41415cadeadf1e7)
![{\displaystyle na^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5885cf352282908bc931ed56ad572fa84f6235c)
![{\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d2fae6bc70beb0ec9d5881b38a29d427823fad)
![{\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b68eda406d1e088553723c0395d4ce2cdeff46e)
![{\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bf891898f79a3cd0cf05030244592b6aaad421)
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911a3c468c99d1dc042b3b5015b48108d9476aa)
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59eccb10aa95ef5ba0a1ed904aee27526fe377d)
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90c4e4b46e7725d99960e3f99a846c65a5d5da)
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4663af1f68929f4e26833381893076c001dfbebb)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14ea7fbaab1d911450572d089188f9ed49bd4d1)
![{\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a954eea32605d9f5457cf746677b7d04bc788ef6)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3539536a288102ecbb30aaf9c3aedb72241a0df2)
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f003f262cbe68dc97f84a5dac9e927a3f2c52858)
![{\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea05d580f1b1fecb9f9aa3ec3d80a9e0d8b02b1)
