有限深方形阱

量子力学里,有限深方形阱,又称为有限深位势阱,是无限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一个阱内位势为0,阱外位势为有限值的位势阱。关于一个或多个粒子,在这种位势作用中的量子行为的问题,称为有限深位势阱问题。与无限深方形阱问题不同的是,在阱外找到粒子的概率大于0。

有限深方形阱。阱宽为。阱内位势为0。在阱壁,位势突然升高为。阱外位势保持为

经典力学里,假若,粒子的能量小于阱壁的位势,则粒子只能移动于阱内,无法存在于阱外。截然不同地,在量子力学里,虽然粒子的能量小于阱壁的位势,在阱外找到粒子的概率大于0。

一维阱定义

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一维有限深方形阱的阱宽为 ,左边阱壁与右边阱壁的位置分别为  。阱内位势为0。在阱壁,位势突然升高为 。阱外位势保持为 。这一维阱将整个一维空间分为三个区域:阱左边,阱内,与阱右边。在每一个区域内,对应着不同的位势,描述粒子的量子行为的波函数 也不同,标记为:[1]:78-82

 :阱左边, (阱外区域),
 :阱内, (阱内区域),
 :阱右边, (阱外区域)。

这些波函数,都必须满足,一维不含时间的薛定谔方程

 (1)

其中, 约化普朗克常数 是粒子质量 是粒子位置, 是位势, 是能量。

阱内区域

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在阱内,位势 ,方程简化为:

 (2)

设定波数 

 (3)

代入方程(2):

 

这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 正弦函数余弦函数线性组合

 

其中,  都是复值常数,由边界条件而决定。

阱外区域

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在阱外,位势 ,薛定谔方程为:

 

视能量是否大于位势而定,有两种不同的解答。一种是自由粒子解答,另一种是束缚粒子解答。

束缚态

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假若,粒子的能量小于位势: ,则这粒子束缚于位势阱内.称这粒子的量子态束缚态bound state)。设定

 (4)

代入方程(1):

 

一般解是指数函数。所以,阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是

 
 

其中,    都是常数。

从正确的边界条件,可以找到常数      的值。

束缚态的波函数

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薛定谔方程的解答必须具有连续性连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的边界条件。

总结前面导引出的结果,波函数 的形式为:

 :阱左边, (阱外区域),
 :阱内, (阱内区域),
 :阱右边, (阱外区域)。

 趋向负无穷,包含 的项目趋向无穷。类似地,当 趋向无穷,包含 的项目趋向无穷。可是,波函数在任何 都必须是有限值。因此,必须设定 。阱外区域的波函数变为

 
 

在阱左边,随着 越小,波函数 呈指数递减。而在阱右边,随着 越大,波函数 呈指数递减。这是合理的。这样,波函数才能够归一化

由于有限深方形阱对称于 ,可以利用这对称性来省略计算步骤。波函数不是奇函数就是偶函数

奇的波函数

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假若,波函数 是奇函数,则

 
 
 

由于整个波函数 必须满足连续性连续可微性。在阱壁,两个波函数的函数值与导数值都必须相配:

 
 

将波函数的公式代入:

 (5)
 (6)

方程(6)除以方程(5),可以得到:

 

从方程(3)与(4),可以求得常数 与波数 的关系:

 

所以,波数是离散的,必须遵守以下方程:

 

这也造成了离散的能量。

偶的波函数

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假若,波函数 偶函数,则

 
 
 

由于整个波函数 必须满足连续性连续可微性。在阱壁,两个波函数的函数值与导数值都必须相配:

 
 

将波函数的公式代入:

 (7)
 (8)

方程(8)除以方程(7),可以得到:

 

从方程(3)与(4),可以求得常数 与波数 的关系:

 

所以,波数是离散的,必须遵守以下方程:

 

这也造成了离散的能量。

散射态

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假若,一个粒子的能量大于位势, ,则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此,在这里,粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射scattering)行为。称这粒子的量子态散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若,一维空间分为几个区域,只有在每个区域内,位势为常数;而在区域与区域之间,位势不相等,则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势, ,不会被束缚于位势阱内,能量不是离散能量谱的特殊值,而是大于或等于 的任意值。波数 ,用方程表达为 ,也不是离散量。代入方程(1):

 
 

解答形式与阱内区域的解答形式相同:

 
 

其中,    ,都是常数。

参阅

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参考文献

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  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.