标准分数
統計學名詞
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标准分数(Standard Score,又称z-score,中文称为Z-分数或标准分或标准计分[1])在统计学中是一种无因次值,就是一种纯数字标记,是借由从单一(原始)分数中减去总体的平均值,再依照总体(母集合)的标准差分割成不同的差距,按照z值公式,各个样本在经过变换后,通常在正、负五到六之间不等。其算数平均数必为0,标准差必为1。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Normal_distribution_and_scales.gif/300px-Normal_distribution_and_scales.gif)
概念
编辑标准分数与使用在高速筛选分析中的“Z-约数”(z-factor)不同,甚至有时两者会互相混淆。
其约化过程被称为“标准化”(standardizing)。
标准分数可借由以下公式求出:
其中 。
其中
Z值的量代表着原始分数和总体平均值之间的距离,是以标准差为单位计算。在原始分数低于平均值时Z则为负数,反之则为正数。换句话说,Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。
关键点是,计算Z值时需要“总体”的平均值和标准差,而不是“样本”的平均值和标准差。因此需要了解总体的统计数据资料。
但是要确实了解总体真正的标准差往往是不切实际的,除非是在“标准化测验”(Standardized testing)之类的情形中,整个总体都是经过测量的。在其他情况中,几乎不可能测量总体的每一个组成单位,因此通常会使用随机的样本来评估标准差。例如:“有吸烟习惯的总人数”就不是经过一个一个测量而得出的。
在这种情况下,标准分数为:
其中
其中
- 是样本平均值
- 是样本的标准差
数理统计学中的标准化
编辑在数理统计学中,随机变量“X”是使用理论(总体)的平均值和标准差所标准化的结果:
其中 μ = E(X) 为平均值、σ² = Var(X) 为X的概率分布之方差
若随机变量无法确定时,则为算术平均数:
因此经过标准化的结果为:
应用
编辑高考标准分
编辑外部链接
编辑- 英文 Z-分数计算机 (页面存档备份,存于互联网档案馆) 能在“累积概率”数值(Q)和Z-分数(标准分数)之间变换。
- 英文 免费的Z-分数(标准分数)计算机 输入样本平均值、样本标准差和尚未标准化的数据之后,即可算出标准分数。