海森堡绘景(Heisenberg picture)是量子力学的一种表述,因物理学者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡绘景里,对应于可观察量的算符会随着时间流易而演化,而描述量子系统的态矢量则与时间无关。使用海森堡绘景,可以很容易地观察到量子系统与经典系统之间的动力学关系。[1]:第2章第25页
海森堡绘景与薛定谔绘景、狄拉克绘景不同。在薛定谔绘景里,描述量子系统的态矢量随着时间流易而演化,而像位置、动量一类的对应于可观察量的算符则不会随着时间流易而演化。[注 1]在狄拉克绘景里,态矢量与对应于可观察量的算符都会随着时间流易而演化。
这三种绘景殊途同归,所获得的结果完全一致。这是必然的,因为它们都是在表达同样的物理现象。[2]:80-84[3][4]
为了便利分析,位于下标的符号 、 分别标记海森堡绘景、薛定谔绘景。
在量子力学的海森堡绘景里,态矢量 不含时,而可观察量的算符 则含时,并且满足“海森堡运动方程”:[2]:80-84
- ;
其中, 是约化普朗克常数, 是哈密顿量, 是 与 的对易算符。
从某种角度来看,海森堡绘景比薛定谔绘景显得更为自然,更具有基础性,因为,经典力学分析物体运动所使用的物理量是可观察量,例如,位置、动量等等,而海森堡绘景专注的就是这些可观察量随着时间流易的演化。进一步来看,海森堡绘景表述的量子力学与经典力学的相似可以很容易的观察到:只要将对易算符改为帕松括号,海森堡方程立刻就变成了哈密顿力学里的运动方程,其形式表示为[5]:396-397
- ;
其中, 是帕松括号。
通过狄拉克量子化条件,可以从哈密顿力学的运动方程得到海森堡运动方程:
- 。
史东-冯诺依曼理论证明海森堡绘景与薛定谔绘景是等价的。
在薛定谔绘景里,负责时间演化的算符是一种幺正算符,称为时间演化算符。假设时间从 流易到 ,而经过这段时间间隔,态矢量 演化为 ,这时间演化过程以方程表示为
- ;
其中, 是时间从 流易到 的时间演化算符。
时间演化算符是幺正算符[注 2]:
- 。
假设系统的哈密顿量 不含时,则时间演化算符为[2]:69-71[注 3]
- ,
而且,时间演化算符与哈密顿量相互对易:[注 4]
- 。
注意到指数函数 必须通过其泰勒级数计算。
在海森堡绘景里,态矢量 、算符 分别定义为
- 、
- 。
由于 、 对于时间的偏导数分别为
- 、
- 。
所以,算符 对于时间的导数是[注 5]
- 。
由于不含时哈密顿量在海森堡绘景的形式与在薛定谔绘景相同,可以忽略下标:[注 6]
- 。
将算符的定义式纳入考量,就可以得到海森堡运动方程:
- 。
算符 的定义式涉及到指数函数 ,必须通过其泰勒级数计算,这是个很繁杂的过程,可以利用贝克-豪斯多夫引理来计算[2]:95
- 。
对于算符 ,可以得到
- 。
由于帕松括号与对易算符的关系,在哈密顿力学里,这方程也成立。
本节运算只涉及海森堡绘景,为了简便起见,忽略下标 。设想自由粒子系统,其哈密顿量为[2]:85-86
- 。
动量 的海森堡运动方程为
- 。
这是因为 与 对易。所以,动量 是个常数:
- 。
位置 的海森堡运动方程为
- 。
所以,位置与时间的关系式为
- 。
换另一种方法,算符随着时间流易而演化的方程为
- 。
利用贝克-豪斯多夫引理,
- 。
注意到以下两个对易关系式:
- 、
- 。
将这两个对易关系式代入,可以得到同样的位置与时间的关系式:
- 。
注意到位置在不同时间的对易子不等于零:
- 。
本节运算只涉及海森堡绘景,为了简便起见,忽略下标 。设想谐振子系统,其哈密顿量为[2]:89, 94-97
- ;
其中, 为谐振子频率。
动量算符 、位置算符 的海森堡运动方程分别为
- 、
- 。
再求这两个方程对于时间的导数,
- 、
- 。
设定动量算符、位置算符的初始条件分别为
- 、
- 。
则在初始时间,
- 、
- 。
所以,二次微分方程的解答分别是
- 、
- 。
稍加运算,可以得到海森堡绘景里的对易关系:
- 、
- 、
- 。
假若 ,则立刻会得到熟悉的正则对易关系。
换另一种方法,算符随着时间流易而演化的方程为
- 。
利用贝克-豪斯多夫引理,
- 。
注意到以下两个对易关系式:
- 、
- 。
将这两个对易关系式代入,可以得到同样的位置与时间的关系式:
- 。
类似地,也可以得到同样的动量与时间的关系式。
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