海森堡繪景

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者維爾納·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨着時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。

維爾納·海森堡

海森堡繪景與薛定諤繪景、狄拉克繪景不同。在薛定諤繪景裏，描述量子系統的態向量隨着時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨着時間流易而演化。在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨着時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

概述

為了便利分析，位於下標的符號${}_{\mathcal {H}}$、${}_{\mathcal {S}}$分別標記海森堡繪景、薛定諤繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量$|\psi \rangle _{\mathcal {H}}$不含時，而可觀察量的算符$A_{\mathcal {H}}$則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：

${\frac {\partial }{\partial {t}}}A_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}},\,H]$；

其中，$\hbar$是約化普朗克常數，$H$是哈密頓量，$[A_{\mathcal {H}},\,H]$是$A_{\mathcal {H}}$與$H$的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛定諤繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨着時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為

${\frac {\partial }{\partial {t}}}A=[A,\,H]_{Poisson}$；

其中，$[\ ,\,\ ]_{Poisson}$是帕松括號。

通過狄拉克量子化條件，可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

$[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to \ {\frac {[\ ,\,\ ]}{i\hbar }}$。

史東-馮紐曼理論證明海森堡繪景與薛定諤繪景是等價的。

理論導引

在薛定諤繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從$0$流易到$t$，而經過這段時間間隔，態向量$|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$演化為$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$，這時間演化過程以方程式表示為

$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$；

其中，$U(t,0)$是時間從$0$流易到$t$的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符：

$U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)$。

假設系統的哈密頓量$H$不含時，則時間演化算符為

$U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }$，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：

$HU(t,0)=U(t,0)H$。

注意到指數函數$e^{-iHt/\hbar }$必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}$、算符$A_{\mathcal {H}}(t)$分別定義為

$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$、

$A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)$。

由於$U(t,0)$、$U^{\dagger }(t,0)$對於時間的偏導數分別為

${\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)$、

${\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H$。

所以，算符$A_{\mathcal {H}}(t)$對於時間的導數是

${\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]\\\end{aligned}}$。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛定諤繪景相同，可以忽略下標：

$H_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H_{\mathcal {S}}U=H_{\mathcal {S}}=H$。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

${d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}}(t),H]$。

期望值

在薛定諤繪景裏，可觀察量$A$的期望值為

$\langle A\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$。

在海森堡繪景裏，可觀察量$A$的期望值為

$\langle A\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}$。

注意到態向量$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}$、算符$A_{\mathcal {H}}(t)$的定義式：

$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$、

$A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)$。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

貝克-豪斯多夫引理

算符$A_{\mathcal {H}}(t)$的定義式涉及到指數函數$e^{-iHt/\hbar }$，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克-豪斯多夫引理來計算

${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots$。

對於算符$A_{\mathcal {H}}(t)$，可以得到

$A_{\mathcal {H}}(t)=A_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,A_{\mathcal {H}}(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]]+\cdots$。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

自由粒子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標${\mathcal {H}}$。設想自由粒子系統，其哈密頓量為

$H={\frac {p^{2}}{2m}}$。

動量$p$的海森堡運動方程式為

${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0$。

這是因為$p$與$H$對易。所以，動量$p$是個常數：

$p(t)=p(0)$。

位置$x$的海森堡運動方程式為

${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]={\frac {p}{m}}$。

所以，位置與時間的關係式為

$x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t$。

換另一種方法，算符隨着時間流易而演化的方程式為

$x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }$。

利用貝克-豪斯多夫引理，

$x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots$。

注意到以下兩個對易關係式：

$[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}$、

$[H,p(0)]=0$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

$x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t$。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

$[x(t),x(0)]=\left[{\frac {p(0)t}{m}},x(0)\right]={\frac {-i\hbar t}{m}}$。

諧振子範例

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標${\mathcal {H}}$。設想諧振子系統，其哈密頓量為

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}$；

其中，$\omega$為諧振子頻率。

動量算符$p$、位置算符$x$的海森堡運動方程式分別為

${d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega ^{2}x(t)$、

${d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]={\frac {p(t)}{m}}$。

再求這兩個方程式對於時間的導數，

${d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }[x(t),H]=-\omega ^{2}p(t)$、

${d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }[p(t),H]=-\omega ^{2}x(t)$。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

$p(0)=p_{0}$、

$x(0)=x_{0}$。

則在初始時間，

${\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}$、

${\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}$。

所以，二次微分方程式的解答分別是

$p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)$、

$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)$。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

$[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})$、

$[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})$、

$[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})$。

假若$t_{1}=t_{2}$，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨着時間流易而演化的方程式為

$x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }$。

利用貝克-豪斯多夫引理，

$x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots$。

注意到以下兩個對易關係式：

$[H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}$、

$[H,p(0)]=i\hbar m\omega ^{2}x(0)$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

${\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}$。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景比較摘要

各種繪景隨着時間流易會呈現出不同的演化：

演化	海森堡繪景	相互作用繪景	薛定諤繪景
括量	常定	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}$	$|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}$
可觀察量	$A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }$	$A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }$	常定
密度算符	常定	$\rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}/\hbar }$	$\rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }$

延伸閱讀

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X. 

參閱

• 狄拉克標記