热传导方程(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。

物理机制

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一维热方程图解(观看动画版

热传导在三维的各向同性介质里的传播可用以下方程表达:

 

其中:

  • u =u(t, x, y, z)表温度,它是时间变数t与空间变数(x,y,z)的函数。
  •  / 是空间中一点的温度对时间的变化率。
  •  ,   温度对三个空间坐标轴的二次导数。
  • k热扩散率,决定于材料的热导率密度热容

热方程是傅里叶冷却律的一个推论(详见条目热传导)。

如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程的唯一解,必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。

利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式

 

其中的 是对空间变数的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电势

就技术上来说,热方程违背狭义相对论,因为它的解表达一个“扰动可以在瞬间传播至空间各处”的情况。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计,但是若要为热传导推出一个合理的速度,则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。

以傅里叶级数解热方程

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在理想状态下一根棍子的热传导,配上均匀的边界条件。

以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur(中译:解析热学)给出。先考虑只有一个空间变数的热方程,这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下:

 

其中u = u(t, x)是tx的双变数函数。

  • x是空间变数,所以x ∈ [0,L],其中L表示棍子长度。
  • t是时间变数,所以t ≥ 0。

假设下述初始条件

 

其中函数f是给定的。再配合下述边界条件

 .

让我们试着找一个非恒等于零的解,使之满足边界条件(3)并具备以下形式:

 

这套技术称作分离变数法。现在将u代回方程(1),

 

由于等式右边只依赖x,而左边只依赖t,两边都等于某个常数− λ,于是:

 
 

以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解:

假设λ < 0,则存在实数BC使得

 

从(3)得到

 

于是有B = 0 = C,这蕴含u恒等于零。

假设λ = 0,则存在实数BC使得

 

仿上述办法可从等式(3)推出u恒等于零。

因此必然有λ > 0,此时存在实数ABC使得

 
 

从等式(3)可知C = 0,因此存在正整数n使得

 

由此得到热方程形如(4)的解。

一般而言,满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出:

 

其中

 

推广求解技巧

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上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是:在适当的函数空间上,算子 可以用它的特征矢量表示。这就自然地导向线性自伴算子谱理论

考虑线性算子Δ u = ux x,以下函数序列

 n ≥ 1)

是Δ的特征矢量。诚然:

 

此外,任何满足边界条件f(0)=f(L)=0的Δ的特征矢量都是某个en。令L2(0, L)表 [0, L]上全体平方可积函数矢量空间。这些函数en构成L2(0, L)的一组正交归一基。更明白地说:

 

最后,序列{en}nN张出L2(0, L)的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化

非均匀不等向介质中的热传导

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一般而言,热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式,因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。

  • 单位时间内流入区域 V的热量由一个依赖于时间的量qt(V)给出。假设q有个密度Q(t,x),于是
 
  • 热流是个依赖于时间的矢量函数H(x),其刻划如下:单位时间内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素的热量是
 

因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出

 

其中n(x)是在x点的向外单位法矢量。

 
其中A(x)是个3×3实对称正定矩阵

利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分

 
 
 
  • 温度在x点对时间的改变率与流进x点所在的无穷小区域的热量成正比,此比例常数与时间无关,而可能与空间有关,写作κ(x)。
 

将以上所有等式合并,便获得支配热流的一般公式。

 

注记

  • 系数κ(x)是该材料在x点的密度比热的积的倒数。
  • 在等方向性介质的情况,矩阵A只是个标量,等于材料的导热率。
  • 在非等向的情况,A不一定是标量,我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题,证明它是适定的,并(或)导出若干定性结果(诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质)。这些论证通常有赖于单参数半群理论:举例来说,如果A是个对称矩阵,那么由
 
定义的椭圆算子是自伴而且耗散的,因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。

粒子扩散

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粒子扩散方程

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在粒子扩散的模型中,我们考虑的方程涉及

  • 在大量粒子集体扩散的情况:粒子的体积浓度,记作c。或者
  • 在单一粒子的情况:单一粒子对位置的概率密度函数,记作P

不同情况下的方程:

 

或者

 

cP都是位置与时间的函数。D是扩散系数,它控制扩散速度,通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c(或第二种情况下的概率密度P),则我们得到非线性扩散方程

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动

如果一个粒子在时间 时置于 ,则相应的概率密度函数具有以下形式:

 

它与概率密度函数的各分量   的关系是:

 

随机变数 服从平均数为0、变异数为 正态分布。在三维的情形,随机矢量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。

t=0时,上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件,其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数,记为 (三维的推广是 );扩散方程对此初始值的解也称作格林函数

扩散方程的历史源流

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粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。

以格林函数解扩散方程

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格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解(数学家称之为扩散方程的基本解)。当粒子初始位置在原点 时,相应的格林函数记作 t>0);根据扩散方程对平移的对称性,对一般的已知初始位置 ,相应的格林函数是 

对于一般的初始条件,扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加

举例来说,设t=0时有一大群粒子,根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何(广义)函数一样,浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加:

 

扩散方程是线性的,因此在之后的任一时刻t,浓度分布变为:

 

在粒子扩散的情形,我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言,任何扩散过程的解都有这种表法,包括热传导或动量的扩散;后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表

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以下以简写BC代表边界条件,IC代表初始条件。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(可能的问题:根据上解,u(0)=0)

 
 
 
 
 
 

其他应用领域

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热传导方程在许多随机过程数学模型中出现,诸如布莱克-斯科尔斯模型奥恩斯坦-乌伦贝克过程。在金融数学,1973年发表的布莱克-斯科尔斯模型作为期权定价模型,当中的差分方程可以转成热传导方程,并从此导出较简单的。许多简单期权的延伸模型没有解析解,因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热传导方程可以用克兰克-尼科尔森方法有效地求数值解,此方法也可用于许多无解析解的模型(详见文献Wilmott,1995)。

热传导方程及其非线性的推广型式也被应用于图像分析

量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热传导方程的数学公式(但时间参数为 虚数单位),本质却不是扩散问题,解的定性行为也完全不同。

热传导方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一,由此也导向热传导方程在黎曼几何中有许多应用。

参见

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文献

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  • Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  • Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.

外部链接

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