一维热方程图解（观看动画版 ） 热传导在三维的各向同性 介质里的传播可用以下方程式表达：
∂
u
∂
t
=
d
i
v
(
U
u
)
=
k
(
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
+
∂
2
u
∂
z
2
)
=
k
(
u
x
x
+
u
y
y
+
u
z
z
)
{\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\mathrm {div} (Uu)=k\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad }
其中：
u =u (t , x , y , z )表温度，它是时间变数t与空间变数(x,y,z)的函数。
∂
u
{\displaystyle {\partial u}}
∂
t
{\displaystyle {\partial t}}
u
x
x
{\displaystyle u_{xx}}
u
y
y
{\displaystyle u_{yy}}
u
z
z
{\displaystyle u_{zz}}
k 是热扩散率 ，决定于材料的热导率 、密度 与热容 。热方程是傅立叶冷却律的一个推论（详见条目热传导 ）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件 。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡 ）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程 最简单的例子。
利用拉普拉斯算子 ，热方程可推广为下述形式
u
t
=
k
Δ
u
,
{\displaystyle u_{t}=k\Delta u,\quad }
其中的
Δ
{\displaystyle \Delta }
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位 。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论 ，因为它的解表达一个“扰动可以在瞬间传播至空间各处”的情况。扰动在前方光锥 外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。 以下解法首先由约瑟夫·傅立叶 在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur （中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变数的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程式如下：
(
1
)
u
t
=
k
u
x
x
{\displaystyle (1)\ u_{t}=ku_{xx}\quad }
其中u = u (t , x )是t 和x 的双变数函数。
x 是空间变数，所以x ∈ [0,L ]，其中L 表示棍子长度。t 是时间变数，所以t ≥ 0。假设下述初始条件
(
2
)
u
(
0
,
x
)
=
f
(
x
)
∀
x
∈
[
0
,
L
]
{\displaystyle (2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad }
其中函数f 是给定的。再配合下述边界条件
(
3
)
u
(
t
,
0
)
=
0
=
u
(
t
,
L
)
∀
t
>
0
{\displaystyle (3)\ u(t,0)=0=u(t,L)\quad \forall t>0\quad }
让我们试著找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：
(
4
)
u
(
t
,
x
)
=
X
(
x
)
T
(
t
)
.
{\displaystyle (4)\ u(t,x)=X(x)T(t).\quad }
这套技术称作分离变数法 。现在将u 代回方程式(1)，
T
′
(
t
)
k
T
(
t
)
=
X
″
(
x
)
X
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad }
由于等式右边只依赖x ，而左边只依赖t ，两边都等于某个常数− λ，于是：
(
5
)
T
′
(
t
)
=
−
λ
k
T
(
t
)
{\displaystyle (5)\ T'(t)=-\lambda kT(t)\quad }
(
6
)
X
″
(
x
)
=
−
λ
X
(
x
)
.
{\displaystyle (6)\ X''(x)=-\lambda X(x).\quad }
以下将证明(6)没有λ ≤ 0的解：
假设λ < 0，则存在实数B 、C 使得
X
(
x
)
=
B
e
−
λ
x
+
C
e
−
−
λ
x
{\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}}
从(3)得到
X
(
0
)
=
0
=
X
(
L
)
.
{\displaystyle X(0)=0=X(L).\quad }
于是有B = 0 = C ，这蕴含u 恒等于零。
假设λ = 0，则存在实数B 、C 使得
X
(
x
)
=
B
x
+
C
.
{\displaystyle X(x)=Bx+C.\quad }
仿上述办法可从等式(3)推出u 恒等于零。
因此必然有λ > 0，此时存在实数A 、B 、C 使得
T
(
t
)
=
A
e
−
λ
k
t
{\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda kt}\quad }
X
(
x
)
=
B
sin
(
λ
x
)
+
C
cos
(
λ
x
)
{\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)}
从等式(3)可知C = 0，因此存在正整数n 使得
λ
=
n
π
L
{\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}}
由此得到热方程形如(4)的解。
一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出：
u
(
t
,
x
)
=
∑
n
=
1
+
∞
D
n
(
sin
n
π
x
L
)
e
−
n
2
π
2
k
t
L
2
{\displaystyle u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }D_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}}
其中
D
n
=
2
L
∫
0
L
f
(
x
)
sin
n
π
x
L
d
x
{\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx}
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间 上，算子
u
↦
u
x
x
{\displaystyle u\mapsto u_{xx}}
特征向量 表示。这就自然地导向线性自伴算子 的谱理论 。
考虑线性算子 Δ u = u x x
e
n
(
x
)
=
2
L
sin
n
π
x
L
{\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}
n ≥ 1）是Δ的特征向量。诚然：
Δ
e
n
=
−
n
2
π
2
L
2
e
n
{\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}}
此外，任何满足边界条件f (0)=f (L )=0的Δ的特征向量都是某个e n 2 (0, L )表 [0, L ]上全体平方可积函数 的向量空间 。这些函数e n 2 (0, L )的一组正交归一基 。更明白地说：
⟨
e
n
,
e
m
⟩
=
∫
0
L
e
n
(
x
)
e
m
(
x
)
d
x
=
{
0
n
≠
m
1
m
=
n
{\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}(x)dx=\left\{{\begin{matrix}0&n\neq m\\1&m=n\end{matrix}}\right.}
最后，序列{e n n ∈ N 2 (0, L )的一个稠密的线性子空间 。这就表明我们实际上已将算子Δ 对角化 。
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量 流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量q t V )给出。假设q 有个密度 Q(t,x) ，于是
q
t
(
V
)
=
∫
V
Q
(
t
,
x
)
d
x
{\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(t,x)\,dx\quad }
热流是个依赖于时间的向量函数H (x )，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS 而单位法向量为n 的无穷小曲面元素的热量是
H
(
x
)
⋅
n
(
x
)
d
S
{\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}
因此单位时间内进入V 的热流量也由以下的面积分给出
q
t
(
V
)
=
−
∫
∂
V
H
(
x
)
⋅
n
(
x
)
d
S
{\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}
其中n (x)是在x 点的向外单位法向量。
H
(
x
)
=
−
A
(
x
)
⋅
∇
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}
其中A (x )是个3×3实对称正定矩阵 。 利用格林定理 可将之前的面积分转成一个体积分
q
t
(
V
)
=
−
∫
∂
V
H
(
x
)
⋅
n
(
x
)
d
S
{\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}
=
∫
∂
V
A
(
x
)
⋅
∇
u
(
x
)
⋅
n
(
x
)
d
S
{\displaystyle =\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}
=
∫
V
∑
i
,
j
∂
x
i
a
i
j
(
x
)
∂
x
j
u
(
t
,
x
)
d
x
{\displaystyle =\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)\,dx}
温度在x 点对时间的改变率与流进x 点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ(x)。
∂
t
u
(
t
,
x
)
=
κ
(
x
)
Q
(
t
,
x
)
{\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)Q(t,x)\,}
将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
∂
t
u
(
t
,
x
)
=
κ
(
x
)
∑
i
,
j
∂
x
i
a
i
j
(
x
)
∂
x
j
u
(
t
,
x
)
{\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)}
注记 ：
系数κ(x )是该材料在x 点的密度 和比热 的积的倒数。 在等方向性介质的情况，矩阵A 只是个纯量，等于材料的导热率。 在非等向的情况，A 不一定是纯量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题 ，证明它是适定 的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群 理论：举例来说，如果A 是个对称矩阵，那么由
A
u
(
x
)
:=
∑
i
,
j
∂
x
i
a
i
j
(
x
)
∂
x
j
u
(
x
)
{\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}
定义的椭圆算子 是自伴而且耗散的，因此由谱定理 导出它生成一个单参数半群。
在粒子扩散的模型中，我们考虑的方程涉及
在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度 ，记作c 。或者
在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数 ，记作P 。 不同情况下的方程式：
c
t
=
D
Δ
c
,
{\displaystyle c_{t}=D\Delta c,\quad }
或者
P
t
=
D
Δ
P
.
{\displaystyle P_{t}=D\Delta P.\quad }
c 与P 都是位置与时间的函数。D 是扩散系数，它控制扩散速度，通常以公尺/秒为单位。
如果扩散系数D 依赖于浓度c （或第二种情况下的机率密度P ），则我们得到非线性扩散方程 。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动 。
如果一个粒子在时间
t
=
0
{\displaystyle t=0}
R
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {R}}={\vec {0}}}
P
(
R
→
,
t
)
=
G
(
R
→
,
t
)
=
1
(
4
π
D
t
)
3
/
2
e
−
R
→
2
4
D
t
{\displaystyle P({\vec {R}},t)=G({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {{\vec {R}}^{2}}{4Dt}}}}
它与机率密度函数的各分量
R
x
{\displaystyle R_{x}}
R
y
{\displaystyle R_{y}}
R
z
{\displaystyle R_{z}}
P
(
R
→
,
t
)
=
1
(
4
π
D
t
)
3
/
2
e
−
R
x
2
+
R
y
2
+
R
z
2
4
D
t
=
P
(
R
x
,
t
)
P
(
R
y
,
t
)
P
(
R
z
,
t
)
{\displaystyle P({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}{4Dt}}}=P(R_{x},t)P(R_{y},t)P(R_{z},t)}
随机变数
R
x
,
R
y
,
R
z
{\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}}
2
D
t
{\displaystyle 2\,D\,t}
正态分布 。在三维的情形，随机向量
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
0
→
{\displaystyle {\vec {0}}}
6
D
t
{\displaystyle 6\,D\,t}
在t=0 时，上述
P
(
R
→
,
t
)
{\displaystyle P({\vec {R}},t)}
狄拉克δ函数 ，记为
δ
(
R
→
)
{\displaystyle \delta ({\vec {R}})}
δ
(
R
→
)
=
δ
(
R
x
)
δ
(
R
y
)
δ
(
R
z
)
{\displaystyle \delta ({\vec {R}})=\delta (R_{x})\delta (R_{y})\delta (R_{z})}
格林函数 。
粒子扩散方程 首先由Adolf Fick于1855年导得。
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解 ）。当粒子初始位置在原点
0
→
{\displaystyle {\vec {0}}}
G
(
R
→
,
t
)
{\displaystyle G({\vec {R}},t)}
t>0 ）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置
R
→
0
{\displaystyle {\vec {R}}^{0}}
G
(
R
→
−
R
→
0
,
t
)
{\displaystyle G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)}
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加 。
举例来说，设t=0 时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值
c
(
R
→
,
0
)
{\displaystyle c({\vec {R}},0)}
跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：
c
(
R
→
,
t
=
0
)
=
∫
c
(
R
→
0
,
t
=
0
)
δ
(
R
→
−
R
→
0
)
d
R
x
0
d
R
y
0
d
R
z
0
{\displaystyle c({\vec {R}},t=0)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)\delta ({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0})dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}
扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t ，浓度分布变为：
c
(
R
→
,
t
)
=
∫
c
(
R
→
0
,
t
=
0
)
G
(
R
→
−
R
→
0
,
t
)
d
R
x
0
d
R
y
0
d
R
z
0
{\displaystyle c({\vec {R}},t)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量 的扩散；后者关系到流体的黏性 现象。
以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。
{
u
t
=
k
u
x
x
−
∞
<
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}}
u
(
x
,
t
)
=
1
4
π
k
t
∫
−
∞
∞
exp
(
−
(
x
−
y
)
2
4
k
t
)
g
(
y
)
d
y
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}
{
u
t
=
k
u
x
x
0
≤
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
u
(
0
,
t
)
=
0
B
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}}
u
(
x
,
t
)
=
1
4
π
k
t
∫
0
∞
(
exp
(
−
(
x
−
y
)
2
4
k
t
)
−
exp
(
−
(
x
+
y
)
2
4
k
t
)
)
g
(
y
)
d
y
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy}
{
u
t
=
k
u
x
x
0
≤
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
u
x
(
0
,
t
)
=
0
B
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}}
u
(
x
,
t
)
=
1
4
π
k
t
∫
0
∞
(
exp
(
−
(
x
−
y
)
2
4
k
t
)
+
exp
(
−
(
x
+
y
)
2
4
k
t
)
)
g
(
y
)
d
y
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy}
{
u
t
=
k
u
x
x
+
f
−
∞
<
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
0
I
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\end{cases}}}
u
(
x
,
t
)
=
∫
0
t
∫
−
∞
∞
1
4
π
k
(
t
−
s
)
exp
(
−
(
x
−
y
)
2
4
k
(
t
−
s
)
)
f
(
s
)
d
y
d
s
{\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds}
{
u
t
=
k
u
x
x
+
f
(
x
,
t
)
0
≤
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
0
I
C
u
(
0
,
t
)
=
0
B
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}}
u
(
x
,
t
)
=
∫
0
t
∫
0
∞
1
4
π
k
(
t
−
s
)
(
exp
(
−
(
x
−
y
)
2
4
k
(
t
−
s
)
)
−
exp
(
−
(
x
+
y
)
2
4
k
(
t
−
s
)
)
)
f
(
y
,
s
)
d
y
d
s
{\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds}
{
u
t
=
k
u
x
x
0
≤
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
0
I
C
u
(
0
,
t
)
=
h
(
t
)
B
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}
u
(
x
,
t
)
=
∫
0
t
x
4
π
k
(
t
−
s
)
3
exp
(
−
x
2
4
k
(
t
−
s
)
)
h
(
s
)
d
s
{\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds}
（可能的问题：根据上解，u(0)=0）
{
u
t
=
k
u
x
x
+
f
−
∞
<
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}}
u
=
w
+
v
{\displaystyle \quad {u=w+v}}
{
v
t
=
k
v
x
x
+
f
,
w
t
=
k
w
x
x
−
∞
<
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
v
(
x
,
0
)
=
0
,
w
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
{\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}}
{
u
t
=
k
u
x
x
+
f
0
≤
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
u
(
0
,
t
)
=
h
(
t
)
B
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}
u
=
w
+
v
+
r
{\displaystyle \quad {u=w+v+r}}
{
v
t
=
k
v
x
x
+
f
,
w
t
=
k
w
x
x
,
r
t
=
k
r
x
x
0
≤
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
v
(
x
,
0
)
=
0
,
w
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
,
r
(
x
,
0
)
=
0
I
C
v
(
0
,
t
)
=
0
,
w
(
0
,
t
)
=
0
,
r
(
0
,
t
)
=
h
(
t
)
B
C
{\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}\,&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}
Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press. L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2 . 
![{\displaystyle (2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9826214beed4a9e0608d7cf970ba6b0979dfe5)
