的士数

第 $n$ 个的士数（Taxicab number），一般写作 $\operatorname {Ta} (n)$ 或 $\operatorname {Taxicab} (n)$ ，定义为最小的数能以 $n$ 个不同的方法表示成两个正立方数之和。1938年，G·H·哈代与爱德华·梅特兰·赖特证明对于所有正整数 $n$ 这样的数也存在。可是他们的证明对找寻的士数毫无帮助，截止现时，只找到6个的士数（ A011541）：

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}

$\operatorname {Ta} (2)$ 因为哈代和拉马努金的故事而为人所知：

“

拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我乘的士来，车牌号码是

1729

，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，

\color {blue}{1729}

是最小的。”（即

1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}

，后来这类数称为的士数。）利特尔伍德回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”

”

在 $\operatorname {Ta} (2)$ 之后，所有的的士数均用电脑来寻找。

Ta(6)的找寻

David W. Wilson证明了 $\operatorname {Ta} (6)\leq 8230545258248091551205888$ 。
1998年丹尼尔·朱利阿斯·伯恩斯坦（英语：Daniel J. Bernstein）证实 $391909274215699968\geq \operatorname {Ta} (6)\geq 10^{18}$
2002年Randall L. Rathbun证明 $\operatorname {Ta} (6)\leq 24153319581254312065344$
2003年5月，Stuart Gascoigne确定 $\operatorname {Ta} (6)>6.8\times 10^{19}$ ，且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen显示 $\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344$ 的机会大于99%。

参考文献

G. H. Hardy和E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online （页面存档备份，存于互联网档案馆）
David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online （页面存档备份，存于互联网档案馆）
D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389—394.
C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203

参看

一般化的士数：多个多次幂之和
士的数：两个不论正负的立方数之和
三立方数和

外部链接

A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady , 编. 1729: Taxi Cab Number or Hardy-Ramanujan Number. Numberphile. [2020-10-25]. （原始内容存档于2017-03-06）.
Taxicab and other maths at Euler （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Singh, Simon. Haran, Brady , 编. Taxicab Numbers in Futurama. Numberphile. [2020-10-25]. （原始内容存档于2015-12-03）.