的士數

第 $n$ 個的士數（Taxicab number），一般寫作 $\operatorname {Ta} (n)$ 或 $\operatorname {Taxicab} (n)$ ，定義為最小的數能以 $n$ 個不同的方法表示成兩個正立方數之和。1938年，G·H·哈代與愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數 $n$ 這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助，截止現時，只找到6個的士數（ A011541）：

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}

$\operatorname {Ta} (2)$ 因為哈代和拉馬努金的故事而為人所知：

“

拉馬努金病重，哈代前往探望。哈代說：「我乘的士來，車牌號碼是

1729

，這數真沒趣，希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道：「不，那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，

\color {blue}{1729}

是最小的。」（即

1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}

，後來這類數稱為的士數。）利特爾伍德回應這宗軼聞說：「每個整數都是拉馬努金的朋友。」

”

在 $\operatorname {Ta} (2)$ 之後，所有的的士數均用電腦來尋找。

Ta(6)的找尋

David W. Wilson證明了 $\operatorname {Ta} (6)\leq 8230545258248091551205888$ 。
1998年丹尼爾·朱利阿斯·伯恩斯坦（英語：Daniel J. Bernstein）證實 $391909274215699968\geq \operatorname {Ta} (6)\geq 10^{18}$
2002年Randall L. Rathbun證明 $\operatorname {Ta} (6)\leq 24153319581254312065344$
2003年5月，Stuart Gascoigne確定 $\operatorname {Ta} (6)>6.8\times 10^{19}$ ，且Cristian S. Calude、Elena Calude及Michael J. Dinneen顯示 $\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344$ 的機會大於99%。

參考文獻

G. H. Hardy和E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389—394.
C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203

參看

一般化的士數：多個多次冪之和
士的數：兩個不論正負的立方數之和
三立方數和

外部連結

A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady , 編. 1729: Taxi Cab Number or Hardy-Ramanujan Number. Numberphile. [2020-10-25]. （原始內容存檔於2017-03-06）.
Taxicab and other maths at Euler （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Singh, Simon. Haran, Brady , 編. Taxicab Numbers in Futurama. Numberphile. [2020-10-25]. （原始內容存檔於2015-12-03）.