積分變換

積分變換（integral transform）是數學中作用於函數的算子，用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換、拉普拉斯變換等。

概述

以一變數為 $t$ 的函數 $f(t)$ 為例，$f(t)$ 經過一積分轉換 $T$ 得到 $Tf(u)$：

$(Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt$

其中 $K$ 是個確定的二元函數, 稱為此積分變換的核函數（kernel function）或核（nucleus）。當選取不同的積分域和變換核時，就得到不同名稱的積分變換。$f(t)$ 稱為象原函數，$Tf(u)$ 稱為 $f(t)$ 的象函數，在一定條件下，它們是一一對應而變換是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換（inverse transform），使得

$f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf)(u)\,du$

而 $K^{-1}(u,t)$ 稱為反核（inverse kernel）。

積分變換表

積分變換	符號	核K	f(t)	t1	t2	反核K−1	u1	u2
阿貝爾積分變換	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		u	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	t	$\infty$
相關 Legendre 變換（Associated Legendre transform）	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
傅立葉變換	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
傅立葉正弦變換	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$, real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
傅立葉餘弦變換	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$, real-valued	0	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	0	$\infty$
漢克爾變換		$t\,J_{\nu }(ut)$		0	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	0	$\infty$
Hartley變換	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Hermite變換	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
希爾伯特變換	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Jacobi變換	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Laguerre變換	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
拉普拉斯變換	${\mathcal {L}}$	e−ut		0	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Legendre變換	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
梅林變換	${\mathcal {M}}$	tu−1		0	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
雙邊拉普拉斯變換	${\mathcal {B}}$	e−ut		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
泊松核		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		0	2π
拉東變換	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
魏爾斯特拉斯變換	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
X-ray變換	Xƒ			$-\infty$	$\infty$
狄拉克δ函數		$\delta (u-t)\,$		$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

參見

• 線性微分方程
• 拉普拉斯變換
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 初值問題
• 邊值問題