算术-几何平均数
(重定向自算术几何平均)
两个正实数和的算术-几何平均数定义如下:
首先计算和算术平均数(相加平均),称其为。然后计算和几何平均数(相乘平均),称其为;这是的算术平方根。
然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列和:
这两个数列收敛于相同的数,这个数称为和的算术-几何平均数,记为,或。
例子
编辑欲计算 和 的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:
然后进行迭代:
- etc.
继续计算,可得出以下的值:
n an gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.416407864999... 3 13.458203932499... 13.458139030991... 4 13.458171481745... 13.458171481706...
24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。
性质
编辑是一个介于 和 的算术平均数和几何平均数之间的数。
如果 ,则 。
还可以写为如下形式:
其中 是第一类完全椭圆积分。
1和 的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数。
存在性的证明
编辑由算术几何不等式可得
因此
这意味着 是不降序列。同时,因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间,又可以得到该序列是有上界的( 中的较大者)。根据单调收敛定理,存在 使得:
然而,我们又有:
从而:
证毕。
关于积分表达式的证明
编辑该证明由高斯首次提出[1]。 令
将积分变量替换为 , 其中
于是可得
因此,我们有
最后一个等式可由 推出。
于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式:
参考文献
编辑引用
编辑- ^ David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (编). Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481 [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. (原始内容存档于2020-06-14). first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330
来源
编辑- Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
- 埃里克·韦斯坦因. Arithmetic-Geometric mean. MathWorld.