算術-幾何平均數

兩個正實數$x$和$y$的算術-幾何平均數定義如下：

首先計算$x$和$y$算術平均數（相加平均），稱其為$a_{1}$。然後計算$x$和$y$幾何平均數（相乘平均），稱其為$g_{1}$；這是$xy$的算術平方根。

$a_{1}={\frac {x+y}{2}}$

$g_{1}={\sqrt {xy}}.$

然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列$\{a_{n}\}$和$\{g_{n}\}$：

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}$

$g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.$

這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為$x$和$y$的算術-幾何平均數，記為$M(x,y)$，或$\mathrm {agm} (x,y)$。

例子

欲計算$a_{0}=24$和$g_{0}=6$的算術-幾何平均數，首先算出它們的算術平均數和幾何平均數：

$a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,$

$g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,$$12$

然後進行迭代：

$a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,$

$g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,$$13.416407864999$ etc.

繼續計算，可得出以下的值：

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416407864999...
3	13.458203932499...	13.458139030991...
4	13.458171481745...	13.458171481706...

24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限，大約為13.45817148173。

性質

$M(x,y)$是一個介於$x$和$y$的算術平均數和幾何平均數之間的數。

如果$r>0$，則$M(rx,ry)=rM(x,y)$。

$M(x,y)$還可以寫為如下形式：

$\mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}$

其中$K(x)$是第一類完全橢圓積分。

1和${\sqrt {2}}$的算術-幾何平均數的倒數，稱為高斯常數。

${\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots$

存在性的證明

由算術幾何不等式可得

$g_{n}\leqslant a_{n}$

因此

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$

這意味着 $\{g_{n}\}$ 是不降序列。同時，因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間，又可以得到該序列是有上界的（$x,y$ 中的較大者）。根據單調收斂定理，存在 $g$ 使得:

$\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$

然而，我們又有:

$a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$

從而:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$

證畢。

關於積分表達式的證明

該證明由高斯首次提出。 令

$I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$

將積分變量替換為 $\theta '$, 其中

$\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$

於是可得

${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}$

因此，我們有

${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}$

最後一個等式可由 $I(z,z)={\frac {\pi }{2z}}$ 推出。

於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式：

$M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.$

參考文獻

來源

• Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
• 埃里克·韋斯坦因. Arithmetic-Geometric mean. MathWorld. 

參見

• 算術平均數
• 幾何平均數