高斯常数

高斯常数符号为G，是1和根号2之算术-几何平均数的倒数：

G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

因此

G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})

其中B为贝塔函数。

和其他常数的关系

高斯常数常用来表示 $\color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 的数值。

\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

换句话说

G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

因为 $\pi$ 和 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 互相代数独立，且 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 为无理数，因此高斯常数为超越数。

高斯常数常用来定义lemniscate常数，第一lemniscate常数为：

L_{1}\;=\;\pi G

第二lemniscate常数为：

L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}

在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。

以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式

G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })

也可以用以下快速收敛的级数表示

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

高斯常数也可以用无穷乘积表示：

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

在以下的定积分中也有高斯常数

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}

高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS数列A053002）