角动量算符

(重定向自角动量算符

量子力学里,角动量算符(英语:angular momentum operator)是一种算符,类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性rotational symmetry)的理论里,角动量算符占有中心的角色。角动量,动量,与能量是物体运动的三个基本特性[1]

简介

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角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里,如同能量和动量,角动量是守恒的。在量子力学里,角动量算符的概念是必要的,因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数,而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界,分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其概率性行为,而不是命定性(deterministic)行为。

数学定义

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经典力学里,角动量   定义为位置   与动量  叉积

 

在量子力学里,对应的角动量算符   定义为位置算符  动量算符   的叉积:

 

由于动量算符的形式为

 

角动量算符的形式为

 

其中, 梯度算符。

角动量是厄米算符

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在量子力学里,每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量,所以,角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点,思考角动量算符的 x-分量  

 

伴随算符  

 

由于      ,都是厄米算符,

 

由于    之间、   之间分别相互对易,所以,

 

因此,  是一个厄米算符。类似地,   都是厄米算符。总结,角动量算符是厄米算符。

再思考   算符,

 

伴随算符  

 

由于   算符、  算符、  算符,都是厄米算符,

 

所以,  算符是厄米算符。

对易关系

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两个算符   交换算符   ,表示出它们之间的对易关系

角动量算符与自己的对易关系

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思考   交换算符

 

由于两者的对易关系不等于 0 ,    彼此是不相容可观察量   绝对不会有共同的基底量子态。一般而言, 本征态  的本征态不同。

给予一个量子系统,量子态为   。对于可观察量算符   ,所有本征值为   的本征态   ,形成了一组基底量子态。量子态   可以表达为这基底量子态的线性组合  。对于可观察量算符   ,所有本征值为   的本征态   ,形成了另外一组基底量子态。量子态   可以表达为这基底量子态的线性组合: 

根据哥本哈根诠释量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若,我们测量可观察量   ,得到的测量值为其本征值   ,则量子态概率坍缩为本征态   。假若,我们立刻再测量可观察量   ,得到的答案必定是   ,量子态仍旧处于   。可是,假若,我们改为测量可观察量   ,则量子态不会停留于本征态   ,而会坍缩为   的本征态。假若,得到的测量值为其本征值   ,则量子态概率坍缩为本征态  

根据不确定性原理

 

  的不确定性与   的不确定性的乘积   ,必定大于或等于  

   之间,   之间,也有类似的特性。

角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系

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思考    的交换算符,

 

  对易的   彼此是相容可观察量,两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到    的本征值。

类似地,

 
 

   之间、   之间,都分别拥有类似的物理特性。

在经典力学里的对易关系

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在经典力学里,角动量算符也遵守类似的对易关系:

 

其中, 帕松括号 列维-奇维塔符号    ,代表直角坐标  

本征值与本征函数

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采用球坐标。展开角动量算符的方程:

 

其中,    ,分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。

转换回直角坐标

 

其中,    ,分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。

所以,    分别是

 
 
 

角动量平方算符是

 

其中,

 
 
 
 
 

经过一番繁杂的运算,终于得到想要的方程[2]:169

 

满足算符  本征函数球谐函数  

 

其中,本征值   是正整数。

球谐函数也是满足算符   微分方程的本征函数:

 

其中,本征值   是整数, 

因为这两个算符的正则对易关系是 0 ,它们可以有共同的本征函数。

球谐函数   表达为

 

其中, 虚数单位 伴随勒让德多项式,用方程定义为

 

  勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为:

 

球谐函数满足正交归一性

 

这样,角动量算符的本征函数,形成一组单范正交基。任意波函数   都可以表达为这单范正交基的线性组合

 

其中, 

参阅

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参考文献

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  1. ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

外部链接

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  • 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学:角动量加法