赫尔德不等式 是数学分析 的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德 。这是一条揭示Lp 的相互关系的基本不等式：
设
S
{\displaystyle S}
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}
f
{\displaystyle f}
L
p
(
S
)
{\displaystyle L^{p}(S)}
g
{\displaystyle g}
L
q
(
S
)
{\displaystyle L^{q}(S)}
f
g
{\displaystyle f{\mbox{ }}g}
L
1
(
S
)
{\displaystyle L^{1}(S)}
‖
f
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
,
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}
等号当且仅当
|
f
|
p
{\displaystyle |f|^{p}}
|
g
|
q
{\displaystyle |g|^{q}}
几乎处处 ）线性相关时取得，即有常数
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
α
|
f
(
x
)
|
p
=
β
|
g
(
x
)
|
q
{\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
若
S
{\displaystyle S}
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,...,n\}}
实数 （或复数 ）
x
1
,
.
.
.
,
x
n
;
y
1
,
.
.
.
,
y
n
{\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}}
∑
k
=
1
n
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
q
)
1
/
q
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}
我们称p 和q 互为赫尔德共轭 。
若取
S
{\displaystyle S}
自然数 集附计数测度，便得与上类似的无穷级数 不等式。
当
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
柯西-施瓦茨不等式 。
赫尔德不等式可以证明
L
p
{\displaystyle L^{p}}
三角不等式 ，闵可夫斯基不等式 ，和证明
L
p
{\displaystyle L^{p}}
L
q
{\displaystyle L^{q}}
对偶 。
如果1 ≤ p ，q < ∞，那么||f ||p g ||q
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}
(
∫
S
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
.
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}
如果p = ∞，那么||f ||∞ 表示|f |的本性上确界 ，||g ||∞ 也类似。 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。
赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式 。
如果||f ||p f μ -几乎处处为零，且乘积fg μ -几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g ||q f ||p g ||q
如果||f ||p g ||q f ||p g ||q
如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg | ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p , q ∈ (1,∞)。
分别用f 和g 除||f ||p g ||q
‖
f
‖
p
=
‖
g
‖
q
=
1.
{\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}
我们现在使用杨氏不等式：
a
b
≤
a
p
p
+
b
q
q
,
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}
对于所有非负的a 和b ，当且仅当ap = bq 时等式成立。因此：
|
f
(
s
)
g
(
s
)
|
≤
|
f
(
s
)
|
p
p
+
|
g
(
s
)
|
q
q
,
s
∈
S
.
{\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}
两边积分，得：
‖
f
g
‖
1
≤
1
,
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,}
这便证明了赫尔德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p g ||q f |p = |g |q 。更一般地，如果||f ||p g ||q α , β > 0（即α = ||g ||q β = ||f ||p
α
|
f
|
p
=
β
|
g
|
q
{\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,}
μ -几乎处处 (*)||f ||p β = 0。||g ||q α = 0。
Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 Kuptsov, L.P., Hölder inequality , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17 : 145–150 Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF) , Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2008-08-07） 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷 . ISSN 1672-6634 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷 . ISSN 1004-3918 
