赫爾德不等式 是數學分析 的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德 。這是一條揭示Lp 的相互關係的基本不等式：
設
S
{\displaystyle S}
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}
f
{\displaystyle f}
L
p
(
S
)
{\displaystyle L^{p}(S)}
g
{\displaystyle g}
L
q
(
S
)
{\displaystyle L^{q}(S)}
f
g
{\displaystyle f{\mbox{ }}g}
L
1
(
S
)
{\displaystyle L^{1}(S)}
‖
f
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
,
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}
等號當且僅當
|
f
|
p
{\displaystyle |f|^{p}}
|
g
|
q
{\displaystyle |g|^{q}}
幾乎處處 ）線性相關時取得，即有常數
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
α
|
f
(
x
)
|
p
=
β
|
g
(
x
)
|
q
{\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
若
S
{\displaystyle S}
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,...,n\}}
實數 （或複數 ）
x
1
,
.
.
.
,
x
n
;
y
1
,
.
.
.
,
y
n
{\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}}
∑
k
=
1
n
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
q
)
1
/
q
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}
我們稱p 和q 互為赫爾德共軛 。
若取
S
{\displaystyle S}
自然數 集附計數測度，便得與上類似的無窮級數 不等式。
當
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
柯西-施瓦茨不等式 。
赫爾德不等式可以證明
L
p
{\displaystyle L^{p}}
三角不等式 ，閔可夫斯基不等式 ，和證明
L
p
{\displaystyle L^{p}}
L
q
{\displaystyle L^{q}}
對偶 。
如果1 ≤ p ，q < ∞，那麼||f ||p g ||q
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}
(
∫
S
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
.
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}
如果p = ∞，那麼||f ||∞ 表示|f |的本性上確界 ，||g ||∞ 也類似。 在赫爾德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，則得出 ∞。
赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式 。
如果||f ||p f μ -幾乎處處為零，且乘積fg μ -幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g ||q f ||p g ||q
如果||f ||p g ||q f ||p g ||q
如果p = ∞且q = 1，那麼幾乎處處有|fg | ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞，情況也類似。因此，我們還可以假設p , q ∈ (1,∞)。
分別用f 和g 除||f ||p g ||q
‖
f
‖
p
=
‖
g
‖
q
=
1.
{\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}
我們現在使用楊氏不等式：
a
b
≤
a
p
p
+
b
q
q
,
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}
對於所有非負的a 和b ，當且僅當ap = bq 時等式成立。因此：
|
f
(
s
)
g
(
s
)
|
≤
|
f
(
s
)
|
p
p
+
|
g
(
s
)
|
q
q
,
s
∈
S
.
{\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}
兩邊積分，得：
‖
f
g
‖
1
≤
1
,
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,}
這便證明了赫爾德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p g ||q f |p = |g |q 。更一般地，如果||f ||p g ||q α , β > 0（即α = ||g ||q β = ||f ||p
α
|
f
|
p
=
β
|
g
|
q
{\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,}
μ -幾乎處處 (*)||f ||p β = 0。||g ||q α = 0。
Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809 Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47 Kuptsov, L.P., Hölder inequality , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17 : 145–150 Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF) , Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02 ] , （原始內容存檔 (PDF) 於2008-08-07） 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大學學報（自然科學版）. 2007年 第3期, 第20卷 . ISSN 1672-6634 張願章. Young不等式的证明及应用. 河南科學. 2004年 第01期, 第22卷 . ISSN 1004-3918 
