赫爾德不等式 是數學分析 的一條不等式,取名自德國數學家奧托·赫爾德 。這是一條揭示Lp 空間 的相互關係的基本不等式:
設
S
{\displaystyle S}
為測度空間,
1
≤
p
,
q
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }
,及
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1}
,設
f
{\displaystyle f}
在
L
p
(
S
)
{\displaystyle L^{p}(S)}
內,
g
{\displaystyle g}
在
L
q
(
S
)
{\displaystyle L^{q}(S)}
內。則
f
g
{\displaystyle f{\mbox{ }}g}
在
L
1
(
S
)
{\displaystyle L^{1}(S)}
內,且有
‖
f
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
,
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}
等號若且唯若
|
f
|
p
{\displaystyle |f|^{p}}
與
|
g
|
q
{\displaystyle |g|^{q}}
(幾乎處處 )線性相依時取得,即有常數
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
使得
α
|
f
(
x
)
|
p
=
β
|
g
(
x
)
|
q
{\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}}
對幾乎所有
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
成立。
若
S
{\displaystyle S}
取作
{
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{1,...,n\}}
附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數 (或複數 )
x
1
,
.
.
.
,
x
n
;
y
1
,
.
.
.
,
y
n
{\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}}
,有
∑
k
=
1
n
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
n
|
y
k
|
q
)
1
/
q
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}}
。
我們稱p 和q 互為赫爾德共軛 。
若取
S
{\displaystyle S}
為自然數 集附計數測度,便得與上類似的無窮級數 不等式。
當
p
=
q
=
2
{\displaystyle p=q=2}
,便得到柯西-施瓦茨不等式 。
赫爾德不等式可以證明
L
p
{\displaystyle L^{p}}
空間上一般化的三角不等式 ,閔可夫斯基不等式 ,和證明
L
p
{\displaystyle L^{p}}
空間是
L
q
{\displaystyle L^{q}}
空間的對偶 。
如果1 ≤ p ,q < ∞,那麼||f ||p 和||g ||q 表示(可能無窮的)表達式:
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}
以及
(
∫
S
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
.
{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}
如果p = ∞,那麼||f ||∞ 表示|f |的本性上確界 ,||g ||∞ 也類似。
在赫爾德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。把a > 0乘以∞,則得出 ∞。
赫爾德不等式有許多證明,主要的想法是楊氏不等式 。
如果||f ||p = 0,那麼f μ -幾乎處處為零,且乘積fg μ -幾乎處處為零,因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g ||q = 0也是這樣。因此,我們可以假設||f ||p > 0且||g ||q > 0。
如果||f ||p = ∞或||g ||q = ∞,那麼不等式的右端為無窮大。因此,我們可以假設||f ||p 和||g ||q 位於(0,∞)內。
如果p = ∞且q = 1,那麼幾乎處處有|fg | ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞,情況也類似。因此,我們還可以假設p , q ∈ (1,∞)。
分別用f 和g 除||f ||p ||g ||q ,我們可以假設:
‖
f
‖
p
=
‖
g
‖
q
=
1.
{\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}
我們現在使用楊氏不等式:
a
b
≤
a
p
p
+
b
q
q
,
{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}
對於所有非負的a 和b ,若且唯若ap = bq 時等式成立。因此:
|
f
(
s
)
g
(
s
)
|
≤
|
f
(
s
)
|
p
p
+
|
g
(
s
)
|
q
q
,
s
∈
S
.
{\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}
兩邊積分,得:
‖
f
g
‖
1
≤
1
,
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,}
這便證明了赫爾德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g ||q = 1的假設下,等式成立若且唯若幾乎處處有|f |p = |g |q 。更一般地,如果||f ||p 和||g ||q 位於(0,∞)內,那麼赫爾德不等式變為等式,若且唯若存在α , β > 0(即α = ||g ||q 且β = ||f ||p ),使得:
α
|
f
|
p
=
β
|
g
|
q
{\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,}
μ -幾乎處處 (*)
||f ||p = 0的情況對應於(*)中的β = 0。||g ||q =0 的情況對應於(*)中的α = 0。
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Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
Kuptsov, L.P., Hölder inequality , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17 : 145–150
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