超奇异素数

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月光理论的数学分支中,超奇异素数(Supersingular prime)是怪兽群(Monster group,最大的简单散在群)“M”阶数素因数 。超奇异素数只有15个:包括前11个素数(235711131719232931)、41475971。(OEIS数列A002267

不是超奇异素数的素数有3743536167,以及任何大于或等于73的素数。所有超奇异素数都是陈素数,但是不是不是超奇异素数的37、53和67也是陈素数,并且有无数个大于73的陈素数。

超奇异素数与以下所述超奇异椭圆曲线英语supersingular elliptic curve的概念有关。对于素数“ p”,以下等价:

  1. 模曲线 X0+(p) = X0(p)/wp,其中 wpFricke involution英语Fricke involutionX0(p),其特征为零。  
  2. 可以在素子场(prime subfield)上定义特征“p”中的所有超奇异椭圆曲线 Fp.
  3. 怪物组的阶数可被“p”整除。

上述等价叙述是由安德鲁·奥格英语Andrew Ogg提出。奥格在1975年证明满足第一个条件的素数,恰好是上面列出的15个超奇数素数,此后不久就得知(当时是猜想的)零星简单群的存在,这些群正好把这些素数作为素数除数。这种奇怪的巧合即为怪兽月光理论的基础。

三个非超奇异素数以另外两个简单散在群的阶数出现:37和67是里昂群阶数的约数,以及37和43是扬科群J4英语Janko group J4阶数的约数。可以立即得出结论,这两个不是魔群组的子商(它们是六个低群英语pariah groups中的两个)。其他的散在群(包括其他四个低群,若提次群英语Tits group可计入散在群的话,也包括提次群)也具有仅超奇素数的阶。 实际上,除了小怪兽群英语Baby monster group以外,它们都只能被小于或等于31的素数整除的阶,不过只有怪兽群的约数包括所有的超奇异素数。超奇异素数47是小怪兽群阶数的约数,而其他三个超奇异素数(415971)只是怪兽群的约数,不是其他散在群的约数。

参考资料

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