轉置矩陣

提示：此條目的主題不是轉移矩陣。

在線性代數中，矩陣A的轉置（英語：transpose）是另一個矩陣A^T（也寫做A^tr, ^tA, A^t或A′）由下列等價動作建立：

• 把A的行寫為A^T的列
• 把A的列寫為A^T的行

矩陣A的轉置A^T的取得方法。重覆以上動作會得出原本的矩陣

形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣

$A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}$ for $1\leq i\leq n,$ $1\leq j\leq m$。

注意：$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$（轉置矩陣）與$\mathbf {A} ^{-1}$（逆矩陣）不同。

例子

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$
• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

性質

對於矩陣A, B和標量c轉置有下列性質：

• $\left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad$

  轉置是自身逆運算。

• $(A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }$

  轉置是從m × n矩陣的向量空間到所有n × m矩陣的向量空間的線性映射。

• $\left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$

  注意因子反轉的次序。以此可推出方塊矩陣A是可逆矩陣，當且僅當A^T是可逆矩陣，在這種情況下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相對容易的把這個結果擴展到矩陣相乘的一般情況，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

• $(cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }$

  標量的轉置是同樣的標量。

• $\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)$

  矩陣的轉置矩陣的行列式等於這個矩陣的行列式。

• 兩個縱列向量a和b的內積可計算為

  $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$

• 如果A只有實數元素，則A^TA是半正定矩陣。
• 如果A是在某個域上，則A 相似於A^T。

特殊轉置矩陣

其轉置等於自身的方塊矩陣叫做對稱矩陣；就是說A是對稱的，如果

$A^{\mathrm {T} }=A$。

其轉置也是它的逆矩陣的方塊矩陣叫做正交矩陣；就是說G是正交的，如果

$GG^{\mathrm {T} }=G^{\mathrm {T} }G=I_{n},\,$ I是單位矩陣。

其轉置等於它的負矩陣的方塊矩陣叫做斜對稱矩陣；就是A是斜對稱的，如果

$A^{\mathrm {T} }=-A$。

複數矩陣A的共軛轉置，寫為A^H，是A的轉置後再取每個元素的共軛複數:

$A^{H}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {(A^{\mathrm {T} })}}$

線性映射的轉置

如果f: V→W是在向量空間V和W之間非退化雙線性形式的線性映射，我們定義f的轉置為線性映射^tf : W→V，確定自

$B_{V}(v,{}^{t}f(w))=B_{W}(f(v),w)\quad \forall \ v\in V,w\in W$

這裡的，B_V和B_W分別是在V和W上的雙線性形式。一個映射的轉置的矩陣是轉置矩陣，只要基是關於它們的雙線性形式是正交的。

在復向量空間上，經常用到半雙線性形式來替代雙線性形式。在這種空間之間的映射的轉置可類似的定義，轉置映射的矩陣由共軛轉置矩陣給出，如果基是正交的。在這種情況下，轉置也叫做埃爾米特伴隨。

如果V和W沒有雙線性形式，則線性映射f: V→W的轉置只能定義為在對偶空間W和V之間的線性映射 ^tf : W^*→V^*。

外部連結

• MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Transpose （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, mathworld.wolfram.com
• Transpose （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, planetmath.org