闭无界集

集合論的概念

数学中,尤其是数理逻辑集合论中,闭无界集(英语:closed and unbounded set, club set)是极限序数的一类子集,其在该极限序数的序拓扑中为,且相对于该极限序数为无界(见严格定义)。

严格定义

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严格而言,若 为极限序数,则集合 当且仅当对每个 ,若 ,则 。因此,若 中,某序列的极限小于 ,则该极限也在 中。[1]:91

 为极限序数,且 ,则 称为在 无界,意思是对任意 ,皆有 使 

若集合既闭又无界,则为闭无界集。有时也考虑闭的真类(由序数组成的真类必然在所有序数组成的类 中无界)。

例如,所有可数极限序数构成的集合就是首个不可数序数的闭无界子集;然而,其并非任何更大的极限序数的闭无界子集,因为其既不闭,也非无界。所有极限序数 构成的集合是 的闭无界子集。从另一个角度,闭无界集即是正规函数英语normal function[1]:92(即递增且连续的函数)的值域。

更一般地可以定义何种 闭无界集。 非空, 为基数,且 中每个大小小于 的子集都包含于  的某个元素中,则 称为闭无界集。(参见固定集英语stationary set

闭无界滤子

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 为极限序数,且其共尾性 不可数。对 ,设  的一列闭无界子集,则 也是闭无界集。原因是,闭集的任意交必为闭,故只需证明该交集无界。固定任意 ,又对每个 ,从每个 中,选取元素 (可以如此选取,因为每个 都无界)。由于此为少于 个序数,且每个都小于 ,其上确界也必小于 ,称其为 。如此,得到可数序列 ,其极限同样会是序列 的极限,而由于每个 皆为闭,且 不可数,后者的极限必在 中,所以 的极限是上述交集的元素,且大于 ,但 为任意,故交集无界,即为所求证。[1]:92

由此可见,若 正则基数英语regular cardinal,则闭无界集生成 上的非主 完备滤子。该滤子可以符号表示成   中的闭无界集 

 为正则基数,则闭无界集关于对角交运算英语Diagonal intersection亦是封闭的。[1]:92

反之,若 正则,而  上关于对角交运算封闭的滤子,且所有形如 (其中 )的集合皆为 的元素,则所有闭无界集均属于 

参见

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded [集合论:第三千纪版,经修订及扩展]. Springer. 2003. ISBN 3-540-44085-2 (英语). 
  • Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基础集合论]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 (英语).