閉無界集

集合論的概念

數學中,尤其是數理邏輯集合論中,閉無界集(英語:closed and unbounded set, club set)是極限序數的一類子集,其在該極限序數的序拓撲中為,且相對於該極限序數為無界(見嚴格定義)。

嚴格定義

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嚴格而言,若 為極限序數,則集合 當且僅當對每個 ,若 ,則 。因此,若 中,某序列的極限小於 ,則該極限也在 中。[1]:91

 為極限序數,且 ,則 稱為在 無界,意思是對任意 ,皆有 使 

若集合既閉又無界,則為閉無界集。有時也考慮閉的真類(由序數組成的真類必然在所有序數組成的類 中無界)。

例如,所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集;然而,其並非任何更大的極限序數的閉無界子集,因為其既不閉,也非無界。所有極限序數 構成的集合是 的閉無界子集。從另一個角度,閉無界集即是正規函數英語normal function[1]:92(即遞增且連續的函數)的值域。

更一般地可以定義何種 閉無界集。 非空, 為基數,且 中每個大小小於 的子集都包含於  的某個元素中,則 稱為閉無界集。(參見固定集英語stationary set

閉無界濾子

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 為極限序數,且其共尾性 不可數。對 ,設  的一列閉無界子集,則 也是閉無界集。原因是,閉集的任意交必為閉,故只需證明該交集無界。固定任意 ,又對每個 ,從每個 中,選取元素 (可以如此選取,因為每個 都無界)。由於此為少於 個序數,且每個都小於 ,其上確界也必小於 ,稱其為 。如此,得到可數序列 ,其極限同樣會是序列 的極限,而由於每個 皆為閉,且 不可數,後者的極限必在 中,所以 的極限是上述交集的元素,且大於 ,但 為任意,故交集無界,即為所求證。[1]:92

由此可見,若 正則基數英語regular cardinal,則閉無界集生成 上的非主 完備濾子。該濾子可以符號表示成   中的閉無界集 

 為正則基數,則閉無界集關於對角交運算英語Diagonal intersection亦是封閉的。[1]:92

反之,若 正則,而  上關於對角交運算封閉的濾子,且所有形如 (其中 )的集合皆為 的元素,則所有閉無界集均屬於 

參見

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded [集合論:第三千紀版,經修訂及擴展]. Springer. 2003. ISBN 3-540-44085-2 (英語). 
  • Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基礎集合論]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 (英語).