闭无界集

数学中，尤其是数理逻辑和集合论中，闭无界集（英语：closed and unbounded set, club set）是极限序数的一类子集，其在该极限序数的序拓扑中为闭，且相对于该极限序数为无界（见严格定义）。

严格定义

严格而言，若$\kappa$为极限序数，则集合$C\subseteq \kappa$为闭当且仅当对每个$\alpha <\kappa$，若$\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0$，则$\alpha \in C$。因此，若$C$中，某序列的极限小于$\kappa$，则该极限也在$C$中。

若$\kappa$为极限序数，且$C\subseteq \kappa$，则$C$称为在$\kappa$中无界，意思是对任意$\alpha <\kappa$，皆有$\beta \in C$使$\alpha <\beta$。

若集合既闭又无界，则为闭无界集。有时也考虑闭的真类（由序数组成的真类必然在所有序数组成的类$\mathrm {On}$中无界）。

例如，所有可数极限序数构成的集合就是首个不可数序数的闭无界子集；然而，其并非任何更大的极限序数的闭无界子集，因为其既不闭，也非无界。所有极限序数$\alpha <\kappa$构成的集合是$\kappa$的闭无界子集。从另一个角度，闭无界集即是正规函数（即递增且连续的函数）的值域。

更一般地可以定义何种$C\subseteq [X]^{\lambda }$为闭无界集。若$X$非空，$\lambda$为基数，且$X$中每个大小小于$\lambda$的子集都包含于$C$$C$的某个元素中，则$C$称为闭无界集。（参见固定集）

闭无界滤子

设$\kappa$为极限序数，且其共尾性$\lambda$不可数。对$\alpha <\lambda$，设$\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle$为$\kappa$的一列闭无界子集，则$\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }$也是闭无界集。原因是，闭集的任意交必为闭，故只需证明该交集无界。固定任意$\beta _{0}<\kappa$，又对每个$n<\omega$，从每个$C_{\xi }$中，选取元素$\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}$（可以如此选取，因为每个$C_{\xi }$都无界）。由于此为少于$\lambda$个序数，且每个都小于$\kappa$，其上确界也必小于$\kappa$，称其为$\beta _{n+1}$。如此，得到可数序列$\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots$，其极限同样会是序列$\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots$的极限，而由于每个$C_{\xi }$皆为闭，且$\lambda$不可数，后者的极限必在$C_{\xi }$中，所以$(\beta _{n})$的极限是上述交集的元素，且大于$\beta _{0}$，但$\beta _{0}$为任意，故交集无界，即为所求证。

由此可见，若$\kappa$为正则基数，则闭无界集生成$\kappa$上的非主$\kappa$完备滤子。该滤子可以符号表示成$\{S\subset \kappa :\exists C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,$ 且$C$是$\kappa$中的闭无界集$\}$。

若$\kappa$为正则基数，则闭无界集关于对角交运算亦是封闭的。

反之，若$\kappa$正则，而${\mathcal {F}}$为$\kappa$上关于对角交运算封闭的滤子，且所有形如$\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}$（其中$\alpha <\kappa$）的集合皆为${\mathcal {F}}$的元素，则所有闭无界集均属于${\mathcal {F}}$。

参见

• 闭无界滤子
• 固定集
• 梅花系原理

参考资料

• Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基础集合论]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 （英语）. 

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