内部

内部（英语：interior，又称开核，英语：open kernel），是点集拓朴中的术语。拓扑空间内子集合 S 的“内部”定义为：所有 S 的开子集的并集。^[1]直观上可以想成“不在 S 的边界上”的S 的点组成。S 的内部中的点称为 S 的内点（英语：interior point）。

另一个等价地定义为，S 的内部是 S 补集的闭包的补集。内部的概念在很多情况下和闭包的概念对偶。

一个集合的外部（exterior）是它补集的内部，等同于它闭包的补集；它包含既不在集合内，也不在边界上的点。一个子集的内部、边界和外部一同将整个空间分为三块（或者更少，因为这三者有可能是空集）。内部和外部总是开的，而边界总是闭的。没有内部的集合叫做边缘集（boundary set）。

定义

令 S 为欧几里得空间的子集。若存在以 x 为中心的开球被包含于 S，则 x 是 S 的内点。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的内点，若对任意不属于S或在S边界上的y，都有d(x, y) >0。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的内点，若存在 x 邻域被包含于 S。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

集合 $S$ 的内部是 $S$ 的所有内点组成的集合。 $S$ 的内部一般记作 $Int(S)$ 或 $S^{\circ }$ 。集合的内部满足下列性质：

上述第二或第三条性质都可独立地作为拓扑内部的定义。

设集合 $X$ 及其幂集 ${\mathcal {P}}(X)$ ，映射 $i:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ 称为内部算子，当且仅当其满足以下内部公理：

其中对于 $X$ 的子集 $A$ ， $i(A)$ 称为 $A$ 的内部， $i(A)$ 中的点称为 $A$ 的内点。

从内部算子出发可以定义拓扑，这和从开集，闭集，闭包，邻域，导集，基等概念出发定义拓扑的方式是等价的。

开集: $X$ 的子集 $A$ 称为开集，当且仅当 $i(A)=A$ ；
闭集: $X$ 的子集 $A$ 称为闭集，当且仅当 $i(X-A)=X-A$ ；
闭包算子，闭包，触点: 对应内部算子 $i$ 的闭包算子 $c:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ 的定义为 $c(A)=X-i(X-A),\forall A\subseteq X$ 。其中 $c(A)$ 称为 $A$ 的闭包， $c(A)$ 中的点称为 $A$ 的触点。闭包算子是内部算子的对偶概念，闭包是内部的对偶概念，触点是内点的对偶概念。
邻域: 对于 $X$ 的子集 $A$ ， $B$ ， $A$ 被称作 $B$ 的邻域，当且仅当 $B\subseteq i(A)$ 。
边界，边界点: 对应内部算子 $i$ 的边界算子 $\partial :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ 的定义为 $\partial (A)=c(A)-i(A),\forall A\subseteq X$ 。其中 $\partial A$ 称为 $A$ 的边界， $\partial A$ 中的点称为 $A$ 的边界点。