內部

內部（英語：interior，又稱開核，英語：open kernel），是點集拓樸中的術語。拓撲空間內子集合 S 的「內部」定義為：所有 S 的開子集的併集。^[1]直觀上可以想成「不在 S 的邊界上」的S 的點組成。S 的內部中的點稱為 S 的內點（英語：interior point）。

另一個等價地定義為，S 的內部是 S 補集的閉包的補集。內部的概念在很多情況下和閉包的概念對偶。

一個集合的外部（exterior）是它補集的內部，等同於它閉包的補集；它包含既不在集合內，也不在邊界上的點。一個子集的內部、邊界和外部一同將整個空間分為三塊（或者更少，因為這三者有可能是空集）。內部和外部總是開的，而邊界總是閉的。沒有內部的集合叫做邊緣集（boundary set）。

定義

令 S 為歐幾里得空間的子集。若存在以 x 為中心的開球被包含於 S，則 x 是 S 的內點。

這個定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S。具體地說，對具有度量 d 的度量空間 X，x 是 S 的內點，若對任意不屬於S或在S邊界上的y，都有d(x, y) >0。

這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代「開球」。設 S 是拓撲空間 X 的子集，則 x 是 S 的內點，若存在 x 鄰域被包含於 S。注意，這個定義並不要求鄰域是開的。

集合 $S$ 的內部是 $S$ 的所有內點組成的集合。 $S$ 的內部一般記作 $Int(S)$ 或 $S^{\circ }$ 。集合的內部滿足下列性質：

上述第二或第三條性質都可獨立地作為拓撲內部的定義。

設集合 $X$ 及其冪集 ${\mathcal {P}}(X)$ ，映射 $i:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ 稱為內部算子，當且僅當其滿足以下內部公理：

其中對於 $X$ 的子集 $A$ ， $i(A)$ 稱為 $A$ 的內部， $i(A)$ 中的點稱為 $A$ 的內點。

從內部算子出發可以定義拓撲，這和從開集，閉集，閉包，鄰域，導集，基等概念出發定義拓撲的方式是等價的。

開集: $X$ 的子集 $A$ 稱為開集，當且僅當 $i(A)=A$ ；
閉集: $X$ 的子集 $A$ 稱為閉集，當且僅當 $i(X-A)=X-A$ ；
閉包算子，閉包，觸點: 對應內部算子 $i$ 的閉包算子 $c:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ 的定義為 $c(A)=X-i(X-A),\forall A\subseteq X$ 。其中 $c(A)$ 稱為 $A$ 的閉包， $c(A)$ 中的點稱為 $A$ 的觸點。閉包算子是內部算子的對偶概念，閉包是內部的對偶概念，觸點是內點的對偶概念。
鄰域: 對於 $X$ 的子集 $A$ ， $B$ ， $A$ 被稱作 $B$ 的鄰域，當且僅當 $B\subseteq i(A)$ 。
邊界，邊界點: 對應內部算子 $i$ 的邊界算子 $\partial :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$ 的定義為 $\partial (A)=c(A)-i(A),\forall A\subseteq X$ 。其中 $\partial A$ 稱為 $A$ 的邊界， $\partial A$ 中的點稱為 $A$ 的邊界點。